文章讲述了q-阶组合的定义，包括q-阶阶乘和q-阶组合系数的计算方法，以及两个关于q-阶组合的递推关系的证明。着重探讨了(5/3)_2的计算和一般形式的公式证明。
(2024年春，合肥高三第一次教学质量检测考试第19题）
设实数q≠0q\neq 0q=0。对任意正整数nnn，定义[n]q:=1+q+…+qn−1,[n]_q:=1+q+\ldots + q^{n-1},[n]q:=1+q+…+qn−1, [n]q!=[1]q⋅[2]q⋅…⋅[n]q, [n]_q! = [1]_q \cdot [2]_q \cdot \ldots \cdot [n]_q,[n]q!=[1]q⋅[2]q⋅…⋅[n]q, (nk)q=[n]q![k]q![n−k]q!,\binom{n}{k}_q = \frac{[n]_q!}{[k]_q! [n-k]_q!},(kn)q=[k]q![n−k]q![n]q!,
这里约定0≤k≤n,[0]q!=10\leq k \leq n, [0]_q!=10≤k≤n,[0]q!=1.
(1) 计算(53)2\binom{5}{3}_2(35)2.
(2) 证明：对任意0≤k≤n−10 \leq k \leq n-10≤k≤n−1, 有(nk)q=(n−1k−1)q+qk(n−1k)q.\binom{n}{k}_q = \binom{n-1}{k-1}_q +q^k \binom{n-1}{k}_q.(kn)q=(k−1n−1)q+qk(kn−1)q.
(3) 证明：对任意0≤k≤n−10 \leq k \leq n-10≤k≤n−1 以及任意非负整数mmm, 有 (n+m+1k+1)q−(nk+1)q=∑i=0mqn−k+i(n+ik)q.\binom{n+m+1}{k+1}_q - \binom{n}{k+1}_q =\sum_{i=0}^m q^{n-k+i} \binom{n+i}{k}_q.(k+1n+m+1)q−(k+1n)q=i=0∑mqn−k+i(kn+i)q.
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