回忆#常见函数的Laplace变换:
tz−1↦Γ(z)szt^{z-1} \mapsto \frac{\Gamma(z)}{s^{z}}tz−1↦szΓ(z) (要求Re(z)>0\mathrm{Re}(z)>0Re(z)>0)
eat↦1s−ae^{at} \mapsto \frac{1}{s-a}eat↦s−a1
cosh(at)↦ss2−a2\cosh(at) \mapsto \frac{s}{s^2-a^2}cosh(at)↦s2−a2s (要求s>∣Re(a)∣s > \vert \mathrm{Re}(a) \verts>∣Re(a)∣) (cosh(at)=(1/2)(eat+e−at)\cosh(at)=(1/2)(e^{at}+e^{-at})cosh(at)=(1/2)(eat+e−at) )
sinh(at)↦as2−2\sinh(at) \mapsto \frac{a}{s^2-^2}sinh(at)↦s2−2a (要求s>∣Im(a)∣s > \vert \mathrm{Im}(a) \verts>∣Im(a)∣) (sinh(at)=(1/2)(eat−e−at\sinh(at)=(1/2)(e^{at}-e^{-at}sinh(at)=(1/2)(eat−e−at) )
cos(ωt)↦ss2+ω2\cos(\omega t) \mapsto \frac{s}{s^2+\omega^2}cos(ωt)↦s2+ω2s (要求ω∈R\omega \in \mathbb{R}ω∈R)
sin(ωt)↦ωs2+ω2\sin(\omega t) \mapsto \frac{\omega}{s^2+\omega^2}sin(ωt)↦s2+ω2ω (要求s>∣Im(ω)∣s > \vert \mathrm{Im}(\omega) \verts>∣Im(ω)∣) (Euler公式eiω=cosω+isinωe^{i\omega}=\cos \omega + i \sin \omegaeiω=cosω+isinω)
平移公式:
eattz−1↦Γ(z)(s−a)ze^{at}t^{z-1} \mapsto \frac{\Gamma(z)}{(s-a)^z}eattz−1↦(s−a)zΓ(z)
eatcosωt↦s−a(s−a)2+ω2e^{at}\cos \omega t \mapsto \frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}eatcosωt↦(s−a)2+ω2s−a (要求ω∈R\omega \in \mathbb{R}ω∈R)
eatsinωt↦ω(s−a)2+ω2e^{at} \sin \omega t \mapsto \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}eatsinωt↦(s−a)2+ω2ω (要求a<s−∣Im(ω)∣a< s - \vert \mathrm{Im}(\omega) \verta<s−∣Im(ω)∣)
tf(t)tf(t)tf(t)的变换公式:
tcosωt↦s2−ω2(s2+ω2)2t \cos \omega t \mapsto \frac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}tcosωt↦(s2+ω2)2s2−ω2 (要求ω∈R\omega \in \mathbb{R}ω∈R)
tsinωt↦2sω(s2+ω2)2t\sin \omega t \mapsto \frac{2s\omega}{(s^2+\omega^2)^2}tsinωt↦(s2+ω2)22sω (要求a<s−∣Im(ω)∣a< s - \vert \mathrm{Im}(\omega) \verta<s−∣Im(ω)∣)
最后是Heaviside函数的变换公式:
H(t−t0)↦e−t0ssH(t-t_0) \mapsto \frac{e^{-t_0s}}{s}H(t−t0)↦se−t0s (要求t0≥0t_0 \geq 0t0≥0)
例:解ODE或IVP(初值问题)
- y′′+3y′+2y=0y''+3y'+2y=0y′′+3y′+2y=0.
- y′′+4y′+4y=0y''+4y'+4y=0y′′+4y′+4y=0.
- {y′′−2y′+10y=0,y(0)=0,y′(0)=6.\begin{cases} y''-2y'+10y=0, \\ y(0)=0, y'(0)=6. \end{cases}{y′′−2y′+10y=0,y(0)=0,y′(0)=6.
回忆导函数的变换公式:{[Ly′′](s)=s2Y(s)−sy(0)−y′(0),[Ly′](s)=sY(s)−y(0).\begin{cases}[Ly''](s)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), \\ [Ly'](s)=sY(s)-y(0).\end{cases}{[Ly′′](s)=s2Y(s)−sy(0)−y′(0),[Ly′](s)=sY(s)−y(0). 以下写Y(s)=[Ly](s)Y(s)=[Ly](s)Y(s)=[Ly](s).
-
左边的Laplace变换是(s2+3s+2)Y(s)−(s+3)y(0)−y′(0)(s^2+3s+2) Y(s) -(s+3)y(0)-y'(0)(s2+3s+2)Y(s)−(s+3)y(0)−y′(0). 特征方程出现了!
解得Y(s)=(s+3)y(0)+y′(0)(s+1)(s+2)=2y(0)+y′(0)s+1−y(0)+y′(0)s+2=C1s+1+C2s+2Y(s)= \frac{(s+3)y(0)+y'(0)}{(s+1)(s+2)} = \frac{2y(0)+y'(0)}{s+1} -\frac{y(0)+y'(0)}{s+2} = \frac{C_1}{s+1}+\frac{C_2}{s+2}Y(s)=(s+1)(s+2)(s+3)y(0)+y′(0)=s+12y(0)+y′(0)−s+2y(0)+y′(0)=s+1C1+s+2C2.
查表可知(s+a)−1(s+a)^{-1}(s+a)−1是e−ate^{-at}e−at的Laplace变换.
所以y=C1e−x+C2e−2xy=C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}y=C1e−x+C2e−2x. -
整理得到(s2+4s+4)Y(s)=(s+4)y(0)+y′(0)(s^2+4s+4)Y(s) = (s+4)y(0)+y'(0)(s2+4s+4)Y(s)=(s+4)y(0)+y′(0). 即Y(s)=(s+4)y(0)+y′(0)(s+2)2=y(0)s+2+2y(0)+y′(0)(s+2)2.Y(s) = \frac{(s+4)y(0)+y'(0)}{(s+2)^2} = \frac{y(0)}{s+2}+\frac{2y(0)+y'(0)}{(s+2)^2}.Y(s)=(s+2)2(s+4)y(0)+y′(0)=s+2y(0)+(s+2)22y(0)+y′(0).
查表,知(s+2)−1,(s+2)−2(s+2)^{-1}, (s+2)^{-2}(s+2)−1,(s+2)−2分别是e−2x,xe−2xe^{-2x}, xe^{-2x}e−2x,xe−2x的Laplace变换.
所以y=C1e−2x+C2xe−2xy=C_1 e^{-2x} + C_2xe^{-2x}y=C1e−2x+C2xe−2x. -
求出Y(s)=2×3(s−1)2+32Y(s) = \frac{2\times 3}{(s-1)^2+3^2}Y(s)=(s−1)2+322×3, 故y=2ex⋅sin(3x)y=2e^x\cdot \sin(3x)y=2ex⋅sin(3x).
注:如果初值条件不是在x=0x=0x=0处给出,则用Laplace变换解此种IVP需要更多的技巧.
- 考虑{y′′−2y′+y=(x−1)ex,y(1)=y′(1)=1.\begin{cases} y''-2y'+y=(x-1)e^x, \\ y(1)=y'(1)=1. \end{cases}{y′′−2y′+y=(x−1)ex,y(1)=y′(1)=1.
特解是y=(6−e6e+x2)ex+16x3ex−12x2exy=(\frac{6-e}{6e}+\frac{x}{2})e^x+\frac{1}{6}x^3e^x-\frac{1}{2}x^2e^xy=(6e6−e+2x)ex+61x3ex−21x2ex.
注意此处的初值条件不是在自变量取0时给出,不能直接两边应用Laplace变换。 这个IVP可以这样求解:
设函数f(t)f(t)f(t)满足f(x−1)=y(x)f(x-1)=y(x)f(x−1)=y(x). 注意dndxny(x)=dndtnf(t)\frac{d^n}{dx^n} y(x) = \frac{d^n}{dt^n} f(t)dxndny(x)=dtndnf(t), 所以原ODE化为f′′(t)−2f′(t)+f(t)=tete.(1)f''(t)-2f'(t)+f(t)=te^te. \tag{1}f′′(t)−2f′(t)+f(t)=tete.(1)而初值条件变为f(0)=f′(0)=1f(0)=f'(0)=1f(0)=f′(0)=1.
对(1)(1)(1)两边应用Laplace变换:写F(s)=[Lf](s)F(s)=[Lf](s)F(s)=[Lf](s), 应用初值条件,有(s−1)2F(s)−s+1=e(s−1)−2.(s-1)^2 F(s) - s+1 = e(s-1)^{-2}.(s−1)2F(s)−s+1=e(s−1)−2.由此可得F(s)=1s−1+eΓ(4)Γ(4)(s−1)4.F(s) = \frac{1}{s-1}+\frac{e}{\Gamma(4)}\frac{\Gamma(4)}{(s-1)^4}.F(s)=s−11+Γ(4)e(s−1)4Γ(4).
查表可知f(t)=(e/6)t3et+etf(t)=(e/6)t^3e^t + e^tf(t)=(e/6)t3et+et. 所以原IVP的特解是y(x)=f(x−1)=(x−1)36ex+ex−1.y(x)=f(x-1)= \frac{(x-1)^3}{6}e^x+e^{x-1}.y(x)=f(x−1)=6(x−1)3ex+ex−1.
这与一开始给出的特解相同。
注意:上述求解过程虽然给出了答案,但如果严格论证,需要用到平移性质2, 此处从略。
注:如果取s=2πiω(ωs=2\pi i \omega (\omegas=2πiω(ω是圆频率))), 则Laplace变换变成经典的Fourier变换:f(t)↦f^(ω)=∫0∞e−2πiω⋅tf(t)dt.f(t) \mapsto \hat{f}(\omega) = \int_0^\infty e^{-2\pi i \omega \cdot t}f(t) dt.f(t)↦f^(ω)=∫0∞e−2πiω⋅tf(t)dt.
特别,Laplace变换与Fourier变换,都能够把函数的卷积,变换成乘法:函数f,gf, gf,g的卷积(convolution)定义为(f∗g)(t)=∫−∞∞f(τ)g(t−τ)dτ.(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau.(f∗g)(t)=∫−∞∞f(τ)g(t−τ)dτ.
不难证明f∗g=g∗ff*g = g*ff∗g=g∗f. 而[L(f∗g)(t)](s)=[Lf](s)⋅[Lg](s),(f∗g)(t)^=f^(ω)⋅g^(ω).[L(f*g)(t)](s)=[Lf](s)\cdot [Lg](s), \quad (f*g)(t)\hat{} = \hat{f}(\omega)\cdot \hat{g}(\omega).[L(f∗g)(t)](s)=[Lf](s)⋅[Lg](s),(f∗g)(t)^=f^(ω)⋅g^(ω).