本文介绍了Laplace变换的概念、定义、性质及其在信息与通信中的应用。从Laplace变换的引入，阐述了它如何克服Fourier变换的局限性，以及在函数乘以衰减和单位阶跃函数后的变化。接着讨论了Laplace变换的线性、延迟、微分和积分性质，并提供了常见的Laplace变换公式。最后，探讨了Laplace逆变换和Laplace变换在实际问题中的应用。
文章目录
1. Laplace变换的概念
1.1 Laplace变换的引入
Fourier变换的局限性
（1）需要满足绝对可积的条件
（2）积分范围为 ∫ − ∞ + ∞ \int_{-\infty}^{+\infty} ∫−∞+∞
改造想法
（1）函数乘上衰减函数 e − β t ( β > 0 ) e^{-\beta t}(\beta>0) e−βt(β>0)，使得函数在 t > 0 t>0 t>0的部分尽快衰减下来
（2）函数乘上单位阶跃函数u(t)，使函数在t<0部分补零
1.2 Laplace变换的定义
定义
设函数f(t)是 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞)上的实值函数，如果对于 s = β + j w s=\beta+jw s=β+jw，积分 ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t \int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt ∫0+∞f(t)e−stdt在复平面某区域收敛，则：
F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ 0 + ∞ f ( t ) e − s t d t F(s) = \mathscr{L}[f(t)] = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st}dt F(s)=L[f(t)]=∫0+∞f(t)e−stdt
关系
f ( t ) f(t) f(t)的Laplace变换是函数 f ( t ) u ( t ) e − β t f(t)u(t)e^{-\beta t} f(t)u(t)e−βt的Fourier变换
存在性定理
设函数f(t)在t>0时：
（1）在任何有限区间上分段连续
（2）具有有限增长性
1.2.1 常见的Laplace变换
① L [ 1 ] = L [ u ( t ) ] = L [ s g n ( t ) ] = 1 s \mathscr{L}[1] = \mathscr{L}[u(t)] = \mathscr{L}[sgn(t)] = \frac{1}{s} L[1]=L[u(t)]=L[sgn(t)]=s1
② L [ δ ( t ) ] = 1 \mathscr{L}[\delta(t)] = 1 L[δ</
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