17、有限尺寸域中的分数阶扩散：理论、方法与应用

有限尺寸域中的分数阶扩散：理论、方法与应用

1. 引言

分数阶扩散在无界域中已得到广泛研究，但在实际应用中，我们更多地需要处理有限尺寸域的问题，例如具有特定边界条件的区间 (x \in (a, b))。由于左右 Riemann - Liouville 分数阶导数算子在边界处通常具有奇异性，因此研究有限尺寸域中的分数阶扩散需要特殊的处理方法。本文将介绍有限尺寸域分数阶扩散模型，以及相应的数值积分方法，并通过具体例子展示其在磁约束热核聚变等离子体异常热传输研究中的应用。

2. 有限尺寸域模型

2.1 常扩散系数情况

当扩散系数为常数 (\chi_f = \chi_{f0}) 时，有限尺寸域 (x \in (a, b)) 的分数阶扩散模型可通过将无界域模型中的 Riemann - Liouville 算子替换为其 Caputo 意义下的正则化算子得到：
[
{}^c_0D^\beta_t f = \chi_{f0} [l {}^c_aD^\alpha_x + r {}^c_xD^\alpha_b] f + \chi_d\partial^2_x f
]

2.2 变扩散系数情况

对于变扩散系数 (\chi_f = \chi_f(x))，我们从相关方程出发，考虑通量定义中涉及的空间分数阶导数的正则化。对于 (1 < \alpha < 2)，有两种正则化方法：
- 一阶正则化 ：
- 左通量：(q_l = -l\chi_f {}_0D^{1 - \beta}_t {}_aD^{\alpha - 1}_x [f(x) - f(