15、双边分数阶导数与分数差分算子的记忆特性研究

双边分数阶导数与分数差分算子的记忆特性研究

1. 广义双边分数阶导数

1.1 定义与性质

广义双边分数阶导数通过傅里叶变换引入，其定义为：
[F\left[D_{\theta}^{\beta}f(x)\right] = |\kappa|^{\beta}e^{i\frac{\pi}{2}\theta\mathrm{sgn}(\kappa)}F(\kappa)]
其中，(\beta)和(\theta)分别为导数阶数和不对称参数，均为任意实数。定义(\varPsi_{\theta}^{\beta}(x) = |\kappa|^{\beta}e^{i\frac{\pi}{2}\theta\mathrm{sgn}(\kappa)})，此函数被称为TSFD系统的频率响应。(D_{\theta}^{\beta}f(x))和(\varPsi_{\theta}^{\beta}(x))具有以下性质：
- (D_{\theta}^{\beta}D_{(n - 1)\theta}^{(n - 1)\beta}f(x) = D_{n\theta}^{n\beta}f(x))
- (D_{\theta}^{\beta}e^{i\kappa x} = |\kappa|^{\beta}e^{i\frac{\pi}{2}\theta\mathrm{sgn}(\kappa)}e^{i\kappa x})，(\kappa, x \in R)
- (\varPsi_{\theta}^{\beta}(x)=\cos\left(\frac{\theta\pi}{2}\right)\varPsi_{0}^{\beta}(x)+\cos\left(\frac{\theta\pi}{2}\rig