16、分数阶扩散：理论、特性与应用

分数阶扩散：理论、特性与应用

1. 分数阶扩散基础

分数阶扩散在研究反常输运现象中具有重要作用。在标准扩散和分数阶扩散影响下的衰减脉冲的对数正态图中，不同曲线代表了不同的扩散机制。虚线对应标准扩散（$\chi_d = 10$），点划线对应分数阶扩散（$\alpha = 1.5$，$\theta = 0$，$\chi_f = 1$），实线则表示两种输运机制同时存在时的情况。

2. 截断Lévy过程的分数阶扩散方程

在连续时间随机游走（CTRW）的流体极限讨论中，存在两种情况。
- 马尔可夫 - 高斯情况 ：忽略等待时间的记忆效应，并假设跳跃概率密度函数（PDF）具有有限矩，主方程会导出扩散方程。
- 包含记忆和长跳跃情况 ：通过代数衰减的PDF引入记忆和长跳跃，流体极限会导致分数阶扩散方程。

然而，尽管动力学最终会收敛到高斯分布或Lévy稳定分布，但收敛速度可能非常缓慢。截断Lévy过程就是一个例子，它用于消除Lévy $\alpha$-稳定分布产生的任意大跳跃。截断Lévy分布具有有限的二阶矩，理论上应收敛到高斯分布，但实际收敛速度极慢，在实际应用的时间尺度内，该过程可被视为非高斯且不能用Lévy $\alpha$-稳定分布描述。

截断Lévy过程在金融、流体、天体物理和等离子体物理等领域有应用，但关于其在CTRW模型中的作用，特别是截断效应在具有记忆的宏观输运方程制定中的作用，了解还较少。

在Lévy - Khintchine表示中，跳跃PDF $\eta$的特征函数（傅里叶变换）$\hat{\eta}$可写为：