泛函分析与偏微分方程（十一）：卷积与正则化

1 卷积的基本定义与三种情形

定义 1.1（卷积）：设
$f\in L^1({\mathbb{R}}^N)$，$g\in L^p({\mathbb{R}}^N)$，其中
$$1\le p\le \infty .$$
则对几乎处处的 $x\in {\mathbb{R}}^N$，函数
$$y\mapsto f(x-y)g(y)$$
是可积的，并定义
$$(f\ast g)(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^N}f(x-y)g(y)dy.$$

记号 1.2（反射）：给定函数 $f$，记
$$\check{f}(x)=f(-x).$$

说明 1.3（三种情形）：卷积的基本估计通常分三种情形讨论：
$$(A)p=1,(B)1<p<\infty ,(C)p=\infty .$$
其中：

• 当 $p=1$ 时，主要依赖 Tonelli 定理与 Fubini 定理；
• 当 $1<p<\infty$ 时，主要依赖 Hölder 不等式；
• 当 $p=\infty$ 时，可以直接用本质上确界来控制。

卷积的一个核心思想是：$L^1$ 函数作为“核”，可以把另一个函数做局部平均，从而产生更规则的对象。

$$\boxed{\begin{array}{l}\text{例子：取 }f=g={\chi }_{(0,1)}\text{，则}\\ (f\ast g)(x)={\int }_{\mathbb{R}}{\chi }_{(0,1)}(x-y){\chi }_{(0,1)}(y)dy\\ =\{\begin{array}{ll}x,& 0<x<1,\\ 2-x,& 1\le x<2,\\ 0,& \text{其余}.\end{array}\\ \text{也就是说，两个区间示性函数卷积后变成了一个连续的“三角形”函数。}\end{array}}$$

2 Young 不等式与卷积的基本估计

定理 2.1（Young 不等式）：设
$$f\in L^1({\mathbb{R}}^N),g\in L^p({\mathbb{R}}^N),1\le p\le \infty .$$
则
$$f\ast g\in L^p({\mathbb{R}}^N),$$
并且
$$\Vert f\ast g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_p.$$

证明：分三种情形。

当
$$p=\infty$$
时，对几乎处处的 $x$ 有
$$|(f\ast g)(x)|\le {\int }_{{\mathbb{R}}^N}|f(x-y)||g(y)|dy\le \Vert g{\Vert }_{\infty }{\int }_{{\mathbb{R}}^N}|f(x-y)|dy=\Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_{\infty }.$$
取本质上确界即得
$$\Vert f\ast g{\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_{\infty }.$$
当
$$p=1$$
时，令
$$F(x,y)=f(x-y)g(y).$$
则对几乎处处的 $y$，
$${\int }_{{\mathbb{R}}^N}|F(x,y)|dx=|g(y)|{\int }_{{\mathbb{R}}^N}|f(x-y)|dx=|g(y)|\Vert f{\Vert }_1.$$
因此
$${\int }_{{\mathbb{R}}^N}{\int }_{{\mathbb{R}}^N}|F(x,y)|dxdy=\Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_1<\infty .$$
由 Tonelli 定理可知 $F\in L^1({\mathbb{R}}^N\times {\mathbb{R}}^N)$，再由 Fubini 定理，
$$\Vert f\ast g{\Vert }_1\le {\int }_{{\mathbb{R}}^N}{\int }_{{\mathbb{R}}^N}|f(x-y)||g(y)|dydx=\Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_1.$$

最后设
$$1<p<\infty .$$
对几乎处处的固定 $x$，由上面的 $p=1$ 情形可知
$$y\mapsto |f(x-y)||g(y){|}^p$$
可积。于是
$$|f(x-y)||g(y)|=|f(x-y){|}^{1/p^{\prime }}|f(x-y){|}^{1/p}|g(y)|.$$
对变量 $y$ 应用 Hölder 不等式，得到
$${\int }_{{\mathbb{R}}^N}|f(x-y)||g(y)|dy\le {\left({\int }_{{\mathbb{R}}^N}|f(x-y)|dy\right)}^{1/p^{\prime }}{\left({\int }_{{\mathbb{R}}^N}|f(x-y)||g(y){|}^{p}dy\right)}^{1/p}.$$
即
$$|(f\ast g)(x)|\le \Vert f{\Vert }_1^{1/p^{\prime }}{\left({\int }_{{\mathbb{R}}^N}|f(x-y)||g(y){|}^{p}dy\right)}^{1/p}.$$
两边取 $p$ 次方得
$$|(f\ast g)(x){|}^p\le \Vert f{\Vert }_1^{p/p^{\prime }}{\int }_{{\mathbb{R}}^N}|f(x-y)||g(y){|}^{p}dy=\Vert f{\Vert }_1^{p-1}(|f|\ast |g{|}^p)(x).$$
对 $x$ 积分，再用 $p=1$ 的情形估计 $|f|\ast |g{|}^p$，便有
$$\Vert f\ast g{\Vert }_p^p\le \Vert f{\Vert }_1^{p-1}\Vert |f|\ast |g{|}^p{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_1^{p-1}\Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_p^p=\Vert f{\Vert }_1^p\Vert g{\Vert }_p^p.$$
因此
$$\Vert f\ast g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_1$$