洛谷 2480 [SDOI2010]古代猪文

最新推荐文章于 2021-09-27 20:45:16 发布

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分类专栏：数学-逆元/Lucas 数学-CRT 文章标签：洛谷-2480

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ziqian2000/article/details/70880871

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本文介绍了一种结合使用中国剩余定理和Lucas定理解决特定组合数学问题的方法，通过将问题转化为求模运算，并利用费马小定理进行简化，最终通过中国剩余定理合并结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

中国剩余定理+Lucas定理

题目就是要求 $G^{\sum_{i|n}C_n^i} \mod p$

然后费马小定理一下，变成求指数 $\mod p-1$

模数是合数，拆开来对每一个小质因数做一遍，最后CRT合并一下即可。

注意费马小定理 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ 成立，当且仅当 $p$ 是质数，且 $a,p$ 互质，然而=模数虽然不满足定理，但快速幂能自动模掉，一般也不会出问题，然而出题人强行构造让指数也是0那就挂啦……

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MOD 999911658
#define N 35618
using namespace std;
namespace runzhe2000
{
    typedef long long ll;
    int n, G, m[4] = {2,3,4679,35617}, a[4], fac[4][N], inv[4][N];
    int C(int a, int b, int i)
    {
        if(a < b) return 0;
        else if(a < m[i]) return (ll)fac[i][a] * inv[i][b] * inv[i][a-b] % m[i];
        else return (ll)C(a/m[i], b/m[i], i) * C(a%m[i], b%m[i], i) % m[i];
    }
    int fpow(int a, int b, int mod)
    {
        if(!(a%=(MOD+1)))return 0; 
        int r = 1;
        for(; b; b>>=1)
        {
            if(b&1)r=(ll)r*a%mod;
            a=(ll)a*a%mod;
        }
        return r;
    }
    int CRT()
    {
        int r = 0;
        for(int i = 0; i < 4; i++)
        {
            int Mi = MOD / m[i];
            int tmp = (ll)a[i] * Mi % MOD * fpow(Mi, m[i]-2, m[i]) % MOD;
            (r += tmp) %= MOD;
        }
        return r;
    }
    void main()
    {
        scanf("%d%d",&n,&G);
        for(int j = 0; j < 4; j++)
        {
            int *f = fac[j], *v = inv[j], mod = m[j];
            f[0] = 1; for(int i = 1; i < mod; i++) f[i] = (ll) f[i-1] * i % mod;
            v[1] = 1; for(int i = 2; i < mod; i++) v[i] = (ll) (mod-mod/i)*v[mod%i] % mod;
            v[0] = 1; for(int i = 1; i < mod; i++) v[i] = (ll) v[i] * v[i-1] % mod;
        }
        for(int j = 1, jj = sqrt((double)n); j <= jj; j++)
            if(n % j == 0)
            {
                for(int i = 0; i < 4; i++)
                {
                    (a[i] += C(n, j, i)) %= m[i];
                    if(n / j != j) (a[i] += C(n, n/j, i)) %= m[i];
                }
            }
        int a = CRT();
        printf("%d\n",fpow(G, a, MOD+1));
    } 
}
int main()
{
    runzhe2000::main();
}