BZOJ 2326 [HNOI2011]数学作业

最新推荐文章于 2018-12-18 20:15:00 发布

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分类专栏：数学-矩阵乘法文章标签： BZOJ-2326

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本文介绍了一种利用分段递推结合矩阵快速幂的方法来解决特定数学问题的技术。通过构造特定矩阵并利用矩阵乘法的性质，可以在较短时间内求得复杂递推式的解。适用于处理大规模数据集的大整数计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分段递推+矩阵乘法

根据模运算的分配律，i表示连接到第几个数，有递推式：f[i]= f[i-1]*(10^log(i))+i mod M

构造矩阵进行加速

{f[i-1]，i-1，1}
*
{ 10^log(i) ,, 0 ,, 0 }
{ 1 ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1 ,, 0 }
{ 0 ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1 ,, 1 }

(空格没法对齐，强行用逗号对齐)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
ll m;
struct matrix
{
    ll mat[4][4];

    matrix()
    {
        memset(mat,0,sizeof(mat));
    }

    void unit()
    {
        for(int i = 1; i <= 3; i++)
            mat[i][i]=1;
    }

    matrix operator *(matrix a)
    {
        matrix ans;
        for(int i = 1; i <= 3; i++)
            for(int j = 1; j <= 3; j++)
                for(int k = 1; k <= 3; k++)
                    ans.mat[i][j]=(ans.mat[i][j]+mat[i][k]*a.mat[k][j])%m;
        return ans; 
    }
}temp;
matrix fpow(matrix base, ll b)
{
    matrix r;
    r.unit();
    while(b)
    {
        if(b&1)
            r=r*base;
        base=base*base;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
int main()
{
    ll n, p=10;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    matrix f;
    f.mat[1][3]=1;
    for(int i = 1; i <= 3; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            temp.mat[i][j]=1;
    while(n>=p)
    {
        temp.mat[1][1]=p%m;
        f=f*fpow(temp,p/10*9);
        p=p*10;
    }
    temp.mat[1][1]=p%m;
    f=f*fpow(temp,n-p/10+1);
    printf("%lld\n",f.mat[1][1]);
    return 0;   
}