学习笔记——二分图及建图技巧

简介

二分图是一种特殊的图。其定义为：

节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。

那啥时候可以用二分图呢？当且仅当图可以进行合法的黑白染色的时候，可以考虑二分图。

二分图匹配

匈牙利算法

最基础的问题就是二分图的最大匹配。所谓最大匹配，就是对于左右两个集合内的点，每个点都只能选一次，并且左右匹配的点之间有连边，求最多能左右匹配的点对数。举个最简单的例子，就是有 $n$ 个男生和 $m$ 个女生，之间有相互喜欢的关系，求最终最多能牵几根红线。

由于这个问题比较基础，所以具体可以看网上其它博客，这里仅作简述。

我们常用的方法是匈牙利算法，这个算法，你可以感性地将之理解为一个有礼貌地戴绿帽的过程。

算法流程

• 从 $1\sim n$ 便利每个男生。
• 对于每个男生，先随便找一个两情相悦的女生。然后分两种情况：
  $1$、 这个女生没有匹配，那么就匹配上。
  $2$、 这个女生已经匹配了，那么就礼貌地问问那个匹配她的男生：“你好，我可以把你戴绿帽吗？”然后问题转化为那个可悲的被戴绿帽的男生去匹配其他女生的问题，可以递归解决。
• 然后如果可以通过一连串的戴绿帽，就可以使答案加一。

这就是匈牙利的全过程，更具体的推荐扶咕咕的题解。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
#define inf 1<<30
using namespace std;
const int MAXN=510;
int n,m,e,mtc[MAXN];
bool used[MAXN],edge[MAXN][MAXN];
bool find(int x){
   
	for(int i=1;i<=m;i++){
   
		if(used[i]||!edge[x][i]) continue;
		used[i]=1;//标记在当前处理时，该女生是否访问。
		if(mtc[i]==0||find(mtc[i])){
   
			mtc[i]=x;
			return 1;
		}
	}return 0;
}
int main()
{
   
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);
	for(int i=1,u,v;i<=e;i++){
   
		scanf("%d%d",&u,&v);
		edge[u][v]=1;
	}int ans=0;
	memset(mtc,0,sizeof(mtc));
	for(int i=1;i<=n;i++){
   
		memset(used,0,sizeof(used));
		if(find(i)) ans++;
	}printf("%d\n",ans);
}

Ps:一个优化
显然，匈牙利的复杂度是 $O(n^2)$ 的，所以有人看到百万级别的题就不会往二分图匹配上去想了。这显然不对，因为有的题目每个点连出去的边只有几条，但是点却是上万的，此时，如果在遍历的时候用 $vector$ 或者前向星存边，那么就可以只跑必定有边的匹配，可以大大降低复杂度。例如这道题，就可以这么做：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
#define inf 1<<30
#define INF 1ll<<60
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
vector<int> e[MAXN];
int vis[MAXN],mtc[MAXN];
bool find(int x,int t){
   
	for(