AT2163 [AGC006B] Median Pyramid Easy

最新推荐文章于 2024-04-12 16:51:29 发布

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#构造

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本文介绍了一道名为AT2163的算法题目，该题要求根据给定的第一层数值构造一个合法的金字塔底层排列。通过分析，确定了构造方法，并提供了具体的实现代码。适用于对数据结构和算法感兴趣的读者。

AT2163

题目大意

给定这样一个 $n$ 层的方格金字塔：
在这里插入图片描述
然后最后一行是 $1\sim n\times 2-1$ 的排列，之后每一格都是正下方、左下方、右下方 $3$ 个格子中的数的中位数。

然后给定第一层的数 $x$ ，要求你构造一个合法的最后一层。

Solution

显然不可能枚举然后验证，那么这显然是一道构造题（~~阿巴阿巴~~）

首先观察它构造的规律。如果三个数中，有 $2$ 个是相等的，那么这三个数“合成”的数也一定是与那两个数相等。所以在任意位置，一旦有 $2$ 个相邻的并且相等的数，那么这两个数所在的列一定都是这个数。

即：
在这里插入图片描述
所以，为了使得第一层的那个唯一的数是 $x$ ，最简单的构造就是把上图中黄色的一列构造成 $x$ 。

可是最后一层并不是上图那么美好，而是 $1\sim n\times 2-1$ 的排列诶。所以就需要构造。

首先把最后一层中间填上 $x$ ，如图：
在这里插入图片描述
此时，只需要满足：

$A > x$ 且 $B, C < x$ $\qquad$ 构造一
或 $A < x$ 且 $B, C > x$ $\qquad$ 构造二

就可以使得上图中， $x$ 和 $A$ 的上方都被强迫构造成 $x$ 。

此时，还余留亿点点问题。

首先是上面两种构造选哪种，是等价的吗？
显然不是，如果 $x = 2$ ，那么就没有 $2$ 个数比 $2$ 要小，就无法用上述中第一种构造法。同理， $x=n\times 2-2$ 时就不能用第二种。

其次，什么时候是无解的。
这不能再简单了，就是 $1$ 或者 $n\times 2-1$ 是无解的。因为这俩连一个比它小(大)的都没有。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
using namespace std;
const int MAXN=2e5+10;
bool vis[MAXN];
int ans[MAXN];
int main()
{
	int n,x;
	scanf("%d%d",&n,&x);
	if(x==1||x==2*n-1){puts("No");return 0;}//先判无解，白给
	if(x==2){//我选择特判2，但是相信你一定知道如果特判n*2-2也是可以的
	//如果是2，那么不能用第一种构造
		puts("Yes");
		ans[n+1]=1;
		ans[n]=2;
		ans[n-1]=2*n-1;
		ans[n+2]=2*n-2;
		for(int i=1,j=3;i<=n-2;i++,j++)
			ans[i]=j;
		for(int i=n*2-1,j=2*n-3;i>=n+3;i--,j--)
			ans[i]=j;
		for(int i=1;i<=n*2-1;i++)
			printf("%d\n",ans[i]);
	}else{//同理
		puts("Yes");
		ans[n]=x;vis[x]=1;
		ans[n+1]=2*n-1;vis[2*n-1]=1;
		ans[n-1]=1;vis[1]=1;
		ans[n+2]=2;vis[2]=1;
		for(int i=1,j=1;i<=n*2-1;i++,j++){
			while(ans[i]) i++;
			while(vis[j]) j++;
			ans[i]=j;
		}
		for(int i=1;i<=n*2-1;i++)
			printf("%d\n",ans[i]);
	}
}
/*这是用我的代码的样例1的输出~
   4
  444
 34446
3514726
*/