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这道题通过动态规划解决了“最多 k 次交易”的股票买卖问题。Java 和 C# 的实现提供了两种方案：1. 三维 DP 数组版：逻辑直观，适合理解问题。2. 优化空间版：使用滚动数组，节省内存。

买卖股票的最佳时机III是一个典型的动态规划问题，关键在于正确定义状态和状态转移方程。我们分别介绍了两种解法：标准动态规划解法：使用二维数组记录每天在不同交易状态下的最大利润，通过状态转移方程计算最终结果。空间优化解法：观察到每个状态只依赖于前一天的状态，将空间复杂度从O(n)优化到O(1)。

LeetCode 309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期 - 详细题解

LeetCode 122. 买卖股票的最佳时机 II 题解

我们可以在遍历数组的同时，记录到目前为止见到的最低价格，并计算如果在这个最低价格买入、当前价格卖出能获得的利润。在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5。更聪明的方法是利用一个关键洞察：要获得最大利润，我们需要以尽可能低的价格买入，然后在之后尽可能高的价格卖出。例如 [1,2,3,4,5]，最大利润为4，应该在第一天买入，最后一天卖出。例如 [7,6,4,3,1]，最大利润为0，因为没有可以盈利的交易机会。

这道题是经典动态规划问题的变种，关键在于定义好状态和状态转移方程。通过维护两个状态（删除和不删除元素的最大和），我们可以在线性时间内解决这个问题。明确定义状态写出状态转移方程确定初始状态计算最终结果。