了解一下x & -x

在计算机科学中，x & -x 是一个非常重要的位操作，尤其在涉及二进制数据处理和高效数据结构（如树状数组，Fenwick Tree）时发挥了关键作用。下面我将从数学原理、计算过程以及具体应用三个方面，详细解释 x & -x 的意义和作用。

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二进制补码与 -x 的含义

要理解 x & -x，我们首先需要弄清楚 -x 在计算机中的表示方式。计算机通常使用二进制补码来表示有符号整数：

• 对于一个正整数 x，它的二进制表示就是其本身。
• 对于负数 -x，它是通过将 x 的二进制表示按位取反（0 变 1，1 变 0），然后加 1 得到的。

举例说明

假设 x = 6，我们用 4 位二进制表示（实际情况可能是 32 位或 64 位，这里简化）：

• x = 6 的二进制表示为 0110。
• 按位取反：1001。
• 加 1：1001 + 1 = 1010。
• 因此，-6 的二进制表示为 1010。

这个过程是补码的核心，它确保了正数和负数在二进制运算中的一致性。

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x & -x 的计算过程

& 是按位与操作，它会比较两个数的二进制表示，只有当对应位都为 1 时，结果的该位才为 1。

现在，我们计算 x & -x：

• x 是原始的正整数。
• -x 是 x 的补码（取反加 1）。
• x & -x 的结果会保留 x 中最低位的 1 所对应的值，而将其他位清零。

原理

• 在 x 的二进制表示中，最低位的 1 是从右边数起第一个 1，其右侧全是 0。
• 在 -x 中，由于取反加 1，最低位的 1 变成了 0，而右侧的 0 变成了 1（因为加 1 产生了进位）。
• 按位与操作后，只有 x 中最低位的 1 位置在 -x 中也可能为 1（取决于具体位模式），最终结果是保留这个最低位的 1，其他位变为 0。

举例 1：x = 6

• x = 6：0110
• -x = -6：1010（取反 1001 加 1）
• x & -x：0110 & 1010 = 0010（即 2）
• 结果：2，对应 x 中最低位的 1（第 2 位，从右数第 1 位是第 0 位）。

举例 2：x = 4

• x = 4：0100
• -x = -4：1100（取反 1011 加 1）
• x & -x：0100 & 1100 = 0100（即 4）
• 结果：4，对应 x 中最低位的 1（第 3 位）。

x & -x 的结果是 x 的二进制表示中最低位的 1 所代表的数值，通常称为 lowbit(x)。这个操作非常高效，因为它只涉及一次位运算。