37、工业系统的分布式控制与滤波相关知识解析

工业系统的分布式控制与滤波相关知识解析

1. 系统稳定性判定

在工业系统的研究中，系统稳定性是至关重要的。对于系统的稳定性判定，有如下重要结论。存在一个连续非递减函数 ξ(τ) > 0（τ > 0），若满足一定条件，系统（9.12）具有特定的稳定性。具体而言，若对于任意 d ∈[−¯d, 0]，有 V1(t + d, x(t + d)) ≤ ξ(V1(t, x(t))) 时，（9.13）可强化为 ˙V1(t, x) ≤−ζ3(||x||)，那么系统（9.12）是一致渐近稳定的。进一步地，如果 limτ→∞ζ1(τ) = ∞，则系统（9.12）是全局一致渐近稳定的。

还有另一个判定条件，考虑系统（9.12），若存在函数 Vo(x) = xtPx（P > 0），对于 d ∈[−¯d, 0]，沿着系统（9.12）的解，Vo 的时间导数满足 ˙Vo(t, x) ≤−q1∥x∥2（当 Vo(x(t + d)) ≤ q2Vo(x(t))，q1 > 0 且 q2 > 1 为常数时），那么系统（9.12）是全局一致渐近稳定的。证明过程如下：因为 P > 0，所以有 λmin(P)∥x∥2 ≤ Vo(x) ≤ λmax(P)∥x∥2。设 ζ1(τ) = λmin(P)τ 2 和 ζ2(τ) = λmax(P)τ 2，容易看出 ζ1( · ) 和 ζ2( · ) 都是 K∞ 类函数，且 ζ1(∥x∥) ≤ V0(x) ≤ ζ2(∥x∥)（x∈ℜn）。再设 ζ3( · ) = −q1τ 2 和 ξ(τ) = q2τ，由 q1 > 0 和 q2 > 1 可知，对于 τ > 0，ξ(τ) > 0 且 ζ3(τ) > 0，从而根据条件得出结论。