最短路最长路整理

发现很多东西不记下来过一段时间就想不明白了，先整理一部分，嗯不对的地方请路过的同学指正~

首先，最短路径相关算法通常依赖一个重要性质，即最短路径的子路径也是最短路。证明如下：

单源最短路：

1、Bellman-Fold算法 （将权值变为相反数，可以求最长路）

数组dis[i]]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组dis[i]为正无穷, dis[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：

这是因为最短路从1到n，最多经过n-1条边，而最上边每一层for循环，实际上是求从源点出发，只经过k条边最短路是多少，k最多n-1

对于每一条边e(u, v)，如果dis[u] + w(u, v) < dis[v]，则另dis[v] = dis[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；

若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环（用flag标记优化）。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在dis[u] + w(u, v) < dis[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组dis[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

复杂度为O(VE)，最短路可以处理负环。

2、DAG(有向无环图) Shortest Path （可以求最长路）

因为是无环图，可以首先进行拓扑排序，得到一个所有点的线性排列，这一步复杂度为O（V+E）

然后根据拓扑排序的次序对每一个节点进行处理：即对从该节点出发的所有边进行松弛操作。总复杂度为O（V+E）

poj 3249

http://www.cnblogs.com/yanlingyin/archive/2011/11/12/2246716.html 最长路标记路径

3、Dijkstra （不能改为最长路）

堆优化时间复杂度可为O(N*logN)

4、SPFA （权值取负，可以求最长路）

可以处理负权边，即进队次数超过N次为出现负环。每次从队列中取点进行松弛操作。

复杂度为O(KE)，一般情况下K小于等于2。

 SPFA对Bellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到：只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点，才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。因此，用一个先进先出的队列来存放被成功松弛的顶点。初始时，源点s入队。当队列不为空时，取出对首顶点，对它的邻接点进行松弛。如果某个邻接点松弛成功，且该邻接点不在队列中，则将其入队。经过有限次的松弛操作后，队列将为空，算法结束。SPFA算法的实现，需要用到一个先进先出的队列 queue 和一个指示顶点是否在队列中的 标记数组 mark。为了方便查找某个顶点的邻接点，图采用临界表存储。

多源最短路：

1、Floyd算法 （可以求最长路，但是有可能存在正环最长路不存在，无法判断）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

最开始初始化dis[i][j]为直接相连的权值

最外层的for循环实际上表示的是：仅利用点１到点ｋ从ｉ到ｊ的最短路是多少。所以三层ｆｏｒ循环都是从点１到点ｎ

时间复杂度Ｏ（ｎ^3）,空间复杂度O（n^2）

同时还可以加入path[]数组保存路径

http://blog.youkuaiyun.com/ll365594480/article/details/6792096

变形：floyd变形求最小环，这个链接讲的很清楚

http://www.cnblogs.com/Yz81128/archive/2012/08/15/2640940.html

例题：poj 1734

应用：

1、最短路解决差分约束问题

可行解的求法

2、单源最短路（最朴素）

3、多元起点单源目的地：反向加边处理

4、所有结对点最短路：fold-warshall

5、各算法保存最短路路径