最长路

最新推荐文章于 2025-03-25 21:44:56 发布

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经典Dijkstra 不能求最长路

这是因为，Dijkstra算法的大致思想是每次选择距离源点最近的结点加入，然后更新其它结点到源点的距离，直到所有点都被加入为止。当每次选择最短的路改为每次选择最长路的时候，出现了一个问题，那就是不能保证现在加入的结点以后是否会被更新而使得到源点的距离变得更长，而这个点一旦被选中将不再会被更新。例如这次加入结点u，最长路为10，下次有可能加入一个结点v，使得u通过v到源点的距离大于10，但由于u在之前已经被加入到集合中，无法再更新，导致结果是不正确的。

经典Dijsktra可在全负权边图中跑最长路(只需要对结果乘一个 -1)、全正权边图中跑最短路

注:

Dijsktra 不能处理有负权的边, 得到的结果是错的

对于有负权的边, 用SPFA…

求解DAG最长路径(即不固定起点和终点)

令dp[i]表示从i号顶点出发能获得的最长路径长度，这样所有dp[i]中的最大值就是整个DAG的最长路径。

求解方法: 记忆化搜索

int dfs(int i) {
    if(dp[i] > 0) return dp[i]; //已经搜索过的
    //遍历i的所有出边
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if(e[i][j] != 0x3f3f3f3f) {
            int temp = dfs(j) + e[i][j];
            if(temp > dp[i]) {
                dp[i] = temp;
                pre[j] = i; // 记录前驱节点
            }
        }
    }
    return dp[i];//返回计算完毕的dp[i]
}

如果要求解路径, 开一个pre 数组记录就行

确定终点的DAG 求解最长路径

反向建图, 以终点为起点…

应用:

求解关键路径问题
经典矩形嵌套问题

问题 A: 矩形嵌套
[命题人 : 外部导入]
时间限制 : 1.000 sec 内存限制 : 64 MB

题目描述
有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转X90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。
输入
第一行是一个正正数N(0<N<10)，表示测试数据组数，
每组测试数据的第一行是一个正正数n，表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)
随后的n行，每行有两个数a,b(0<a,b<100)，表示矩形的长和宽
输出
每组测试数据都输出一个数，表示最多符合条件的矩形数目，每组输出占一行

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define long long ll

const int MAXN = 1010;
const int INF = -1000000000;
int dp[MAXN];
int G[MAXN][MAXN];
int edge[MAXN][MAXN];
int n;

//求最长路径长度
int dfs(int i) {
    if(dp[i] > 0) return dp[i];
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if(G[i][j] != 0){
            int temp = dfs(j) + G[i][j];
            if(temp > dp[i]) {
                dp[i] = temp;
            }
        }
    }
    return dp[i];
}

int main() {
    int N;
    scanf("%d", &N);
    while(N--){
        memset(G, 0, sizeof(G));//初始化
        fill(dp, dp + MAXN, 0);
        scanf("%d", &n);
        int a = 0, b = 0, maxIndex;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            scanf("%d%d", &edge[i][0], &edge[i][1]);

            if(edge[i][0] < edge[i][1]) {//长的边靠前
                swap(edge[i][0], edge[i][1]);
            }

            if(edge[i][0] > a && edge[i][1] > b) {//求最大的矩形，即源点
                a = edge[i][0];
                b = edge[i][1];
                maxIndex = i;
            }
            //构建有向图
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if(edge[i][0] > edge[j][0] && edge[i][1] > edge[j][1]){//矩形i能嵌套矩形j
                    G[i][j] = 1;
                }else if(edge[i][0] < edge[j][0] && edge[i][1] < edge[j][1]){//矩形j能被矩形i嵌套
                    G[j][i] = 1;
                }
            }
        }
        int ans = dfs(maxIndex);
        printf("%d\n", ans + 1);//顶点数为最长路径长度（边数）+1
    }
    return 0;
}