函数——离散数学part 1

函数

设A，B是集合，f是A到B的二元关系，如果f满足，对于A中每一个元素a，存在B中的一个元素且仅一个元素b，使得<a,b>∈f，则称f为A到B的函数，若<a,b>∈f，则记b=f(a)。A为定义域，f（A）为值域
注意：函数是特殊的二元关系，它要求A中每一个元素都与B中元素相关，且A中的每一个元素只与B中的一个元素相关。
可以定义$2^{|A||B|}$个A到B的不同的二元关系，但只能定义$|B{|}^{|A|}$个A到B不同的函数。

特殊的函数

单射函数

设A,B是集合，f是A到B的函数，对于A中任意两个元素$x_1,x_2$当$x_1\ne x_2$时，都有$f(x_1)\ne f(x_2)$,则称f为A到B的单射函数。
|A|=|f(A)|≤|B|

满射函数

设A,B是集合，f是A到B的函数，如果函数的值域恰好是B，即f(A)=B,则称f是A到B的满射函数。
|A|≥|f(A)|=|B|

双射函数

设A,B是集合，f是A到B的函数，如果f既是单射函数又是满射函数，则f为双射函数，也称为一一对应函数。
|A|=|f(A)|=|B|

问题0：当|A|=|B|=n,可以定义多少种A到B的不同的双射函数：n!
问题1：当|A|=m,|B|=n，可以定义多少种A到B的不同的单射函数：$A_n^m=n(n-1)...(n-m+1)$
问题2：当|A|=m,|B|=n,可以定义多少种A到B的不同的满射函数：自定域做个数上的分组，分成n组，然后将同一组的元素看成一个元素，将问题转化成双射问题。

复合函数

设f是A到B的函数，g是B到C的函数，f和g合成的函数为复合函数，记为g○f，它是A到C的函数，当a∈A，b∈B，c∈C且f(a)=b,g(b)=c时，g○f（a)=g(f(a))=c
注意：当把f和g看作二元关系时，合成的关系记作f○g，而把f，g看作函数时，合成后的复合函数应记为g○f，这样g○f(x)=g(f(x))
复合满足结合律不满足交换律
定理：设f是A到B的函数，g是B到C的函数，A到C的复合函数为g○f，则若f，g都为单射（满射，双射）函数，则g○f为单射（满射，双射）函数。

逆函数

对函数f，把f看作二元关系，其逆关系不一定是函数。显然只有f为双射时，其逆关系才是函数。
定义：f是A到B的双射函数，则f的逆关系称为f的逆函数，记为$f^{-1}$

结论：
一.
设f是A到B的函数，g是B到C的函数，A到C的复合函数为g○f，则
①若g○f是单射函数，则f是单射函数
②若g○f是满射函数，则g是满射函数
③若g○f是双射函数，则f是单射函数，且g是满射函数
注意①中g不一定单射，②中f不一定满射，③中f不一定满射，g不一定单射
二.
双射g○f的逆函数为$f^{-1}○g^{-1}$

鸽洞原理

若有人只有n个鸽洞，但是却养了多于n只的鸽子，则必有一个鸽洞住了2只或2只以上的鸽子。
函数角度：A,B为有限集合，若|A|>|B|，f是A到B的函数，则至少有两个自变量的函数值相等
一般地，若有人只有n个鸽洞，但是却养了多于nm只的鸽子，则必有一个鸽洞住了m+1只或m+1只以上的鸽子。
函数角度：A,B为有限集合，若|A|>m|B|，f是A到B的函数，则至少有m+1个自变量的函数值相等

典型例题：