Josh 的复习总结之数字信号处理（Part 1——离散时间信号和系统分析基础）

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《Josh 的复习总结之数字信号处理》系列文章目录：

👉 Part 1——离散时间信号和系统分析基础
      Part 2——离散傅里叶级数 DFS
      Part 3——离散傅里叶变换 DFT
      Part 4——快速傅里叶变换 FFT
      Part 5——部分 FFT 蝶形图
      Part 6——数字滤波器的基本结构
      Part 7——数字滤波器设计

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1. 理想取样信号的频谱

  设有输入连续时间信号 $x_a\left(t\right)$，理想取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$，单位周期冲激串 $p_{\delta }\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT\right)$，则理想取样信号可表示为
$$\hat{x}\left(t\right)=x_a\left(t\right)p_{\delta }\left(t\right)=x_a\left(t\right)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT\right)$$由于 $\delta \left(t-nT\right)$ 仅在 $t=nT$ 时非零，因此理想取样信号可进一步表示为
$$\hat{x}\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a\left(nT\right)\delta \left(t-nT\right)$$  将单位周期冲激串 $p_{\delta }\left(t\right)$ 按指数形式的傅氏级数展开¹，有
$$p_{\delta }\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT\right)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{c}_m{e}^{jm\frac{2\pi }{T}\cdot t}$$其中
$$c_m=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT\right)e^{-jm\frac{2\pi }{T}t}\mathrm{d}t$$由于在积分区间 $\left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right]$内只有一个冲激脉冲 $\delta \left(t\right)$，则
$$c_m=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\delta \left(t\right)e^{-jm\frac{2\pi }{T}t}\mathrm{d}t=\frac{1}{T}$$由此，单位周期冲激串可进一步表示为
$$p_{\delta }\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT\right)=\frac{1}{T}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{e}^{jm\frac{2\pi }{T}\cdot t}$$  理想取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$ 的傅里叶变换（取样角频率 ${\Omega }_s=\frac{2\pi }{T}$）
$$\begin{array}{rl}\hat{X}\left(j\Omega \right)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{x}\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_a\left(t\right)p_{\delta }\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{T}{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_a\left(t\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }{e}^{jm{\Omega }_{s}t}{e}^{-j\Omega t}\mathrm{d}t=\frac{1}{T}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_a\left(t\right)e^{-j\left(\Omega -m{\Omega }_s\right)t}\mathrm{d}t\end{array}$$与连续时间信号 $x_a\left(t\right)$ 的傅里叶变换对比
$$X_a\left(j\Omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_a\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t$$有
$$\hat{X}\left(j\Omega \right)=\frac{1}{T}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{X}_a\left[j\left(\Omega -m{\Omega }_s\right)\right]=\frac{1}{T}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{X}_a\left[j\left(\Omega -m\frac{2\pi }{T}\right)\right]$$由此，理想取样后信号频谱的幅值乘以 $\frac{1}{T}$ 因子，且周期延拓²。

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2. 按非零脉宽取样的信号的频谱

  设有输入连续时间信号 $x_a\left(t\right)$，取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$，幅度为 $1$ 重复周期为 $T$ 宽度为 $\tau$ 的周期取样脉冲 $p\left(t\right)$。取样脉冲的傅里叶变换³为
$$\begin{array}{r}p\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<\left|t\right|<\frac{\tau }{2}\\ 0,& \frac{\tau }{2}<\left|t\right|<\frac{T}{2}\end{array}且p\left(t+T\right)=p\left(t\right)\stackrel{\text{Fourier Transform}}{\leftrightarrow }P\left(j\Omega \right)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\frac{2\sin \left(\frac{m\pi \tau }{T}\right)}{m}\delta \left(\Omega -\frac{2\pi }{T}\right)\end{array}$$则取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$ 的频谱
$$\begin{array}{rl}\hat{X}\left(j\Omega \right)& =\frac{1}{2\pi }{X}_a\left(j\Omega \right)\ast P\left(j\Omega \right)=\frac{1}{2\pi }\sum _{m=-\infty }^{\infty }\frac{2\sin \left(\frac{m\pi \tau }{T}\right)}{m}{X}_a\left[j\left(\Omega -m\frac{2\pi }{T}\right)\right]\\ & =\frac{\tau }{T}\sum _{m=-\infty }^{\infty }Sa\left(\frac{m\pi \tau }{T}\right)X_a\left[j\left(\Omega -m\frac{2\pi }{T}\right)\right]\end{array}$$其中
$${\Omega }_s=\frac{2\pi }{T}，\mathrm{S}\mathrm{a}\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}$$由此可见取样信号的频谱是周期重复的，其幅度是按照 $\mathrm{S}\mathrm{a}$ 函数（或 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$ 函数）⁴的变化规律随频率而逐渐下降的。

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3. Shannon 取样定理

  对于任何采样（不论是理想或实际），取样频率 ${\Omega }_s$ 必须大于原模拟信号频谱中最高频率 ${\Omega }_h$ 的两倍，则取样信号 $x_a\left(t\right)$ 可由其取样信号 $x\left(nT\right)$ 唯一表示表示，即不发生频谱混叠。

  信号频谱中最高频率 ${\Omega }_h$ 称为 Nyquist 频率，理论上能够再恢复出原信号的最小频率 ${\Omega }_s={2\Omega }_h$ 称为 Nyquist 采样率。

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4. 信号的恢复及取样内插公式

  当满足 Shannon 取样定理时，将取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$ 通过一带宽等于折叠频率 ${\Omega }_0=\frac{{\Omega }_s}{2}$ 的只允许通过基带频谱的理想低通滤波器可恢复出原模拟信号。滤波器的频域表达式及其脉冲响应为
$$H\left(j\Omega \right)=\{\begin{array}{l}T,\left|\Omega \right|<\frac{{\Omega }_s}{2}\\ 0,\left|\Omega \right|⩾\frac{{\Omega }_s}{2}\end{array}$$$$\begin{gathered} \text{Fourier}\updownarrow \text{Transform} \\ {h}_a\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }H\left(j\Omega \right)e^{j\Omega t}\text{d}t=\frac{T}{2\pi }{\int }_{-\frac{{\Omega }_s}{2}}^{\frac{{\Omega }_{\text{s}}}{2}}{e}^{j\Omega t}\text{d}t=\frac{\sin \frac{{\Omega }_s}{2}t}{\frac{{\Omega }_s}{2}t}=\frac{\sin \frac{\pi }{T}t}{\frac{\pi }{T}t} \end{gathered}$$则由时域卷积定理⁵
$$\begin{array}{rl}y\left(t\right)& =\hat{x}\left(t\right)\ast h_a\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{x}\left(t\right)h_a\left(t-\tau \right)d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a\left(\tau \right)\delta \left(\tau -nT\right)\right]h_a\left(t-\tau \right)d\tau \\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_a\left(\tau \right)h_a\left(t-\tau \right)\delta \left(\tau -nT\right)d\tau =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a\left(nT\right)h_a\left(t-nT\right)\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x}_a\left(nT\right)\frac{\sin \frac{\pi }{T}\left(t-nT\right)}{\frac{\pi }{T}\left(t-nT\right)}=x_a\left(t\right)\end{array}$$其中内插函数
$$h_a\left(t-nT\right)=\frac{\sin \frac{\pi }{T}\left(t-nT\right)}{\frac{\pi }{T}\left(t-nT\right)}$$由此，只要取样率 ${\Omega }_s$ 满足 Shannon 取样定理，连续时间函数 $x_a\left(t\right)$ 就可以由它的取样值来表达而不损失任何信息。这时只要把每一个瞬间的函数乘以对应的内插函数 $h_a\left(t-nT\right)$ 并求总和，即可得出 $x_a(t)$。

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5. 数字域角频率和模拟域角频率的关系

  以正弦序列为例
$$x\left(n\right)={x\left({\Omega }_{0}t\right)|}_{t=nT}=\sin \left({\Omega }_{0}Tn\right)=\sin \left({\omega }_{0}n\right)$$则数字域角频率和模拟域角频率的关系为
$${\omega }_0={\Omega }_{0}T=\frac{{\Omega }_0}{f_s}$$也可以说模拟域角频率 ${\Omega }_0$ 对取样频率 $f_s$ 取归一化的值 $\frac{{\Omega }_0}{f_s}$。

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6. 离散线性卷积的矩阵算法

$$y=h\ast x={\left[\begin{array}{ccccc}{h}_1& 0& \cdots & 0& 0\\ h_2& h_1& \ddots & ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0& 0\\ h_m& h_{m-1}& & h_1& 0\\ 0& h_m& \ddots & ⋮& h_1\\ 0& 0& \ddots & h_{m-1}& ⋮\\ ⋮& ⋮& & h_m& h_{m-1}\\ 0& 0& \cdots & 0& h_m\end{array}\right]}_{\left(m+n-1\right)\times n}\cdot {\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]}_{n\times 1}$$$$y^T={\left[\begin{array}{cccccc}{h}_1& h_2& h_3& \cdots & h_{m-1}& h_m\end{array}\right]}_{1\times n}\cdot {\left[\begin{array}{cccccccccc}{x}_1& x_2& x_3& \cdots & x_n& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & & & ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& x_1& \cdots & x_{n-2}& x_{n-1}& x_n& 0\\ 0& \cdots & 0& 0& 0& x_1& \cdots & x_{n-2}& x_{n-1}& x_n\end{array}\right]}_{n\times \left(n+m-1\right)}$$

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7. 单位取样响应 $h\left(n\right)$ 和系统频率响应 $H\left(e^{j\omega }\right)$ 的关系

7.1 通过单位取样响应 $h\left(n\right)$ 从时域表征系统

  当系统的输入为单位取样序列 $\delta \left(n\right)$ 时的输出序列称为系统的单位取样响应 $h\left(n\right)$，记
$$h\left(n\right)=T\left[\delta \left(n\right)\right]$$若系统是线性时不变的，则系统对移位 $k$ 步的单位取样序列 $\delta \left(n-k\right)$ 的响应为
$$h\left(n-k\right)=T\left[\delta \left(n-k\right)\right]$$由于任何一输入序列均可表示为加权延时单位取样响应的线性组合，即
$$x\left(n\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left(k\right)\delta \left(n-k\right)$$由此，线性时不变系统的输出可表示为
$$\begin{array}{rl}y\left(n\right)& =T\left[x\left(n\right)\right]=T\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left(k\right)\delta \left(n-k\right)\right]\\ & \stackrel{\text{叠加性、均匀性}}{=}\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left(k\right)T\left[\delta \left(n-k\right)\right]\stackrel{\text{非时变性}}{=}\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left(k\right)\text{h}\left(n-k\right)\end{array}$$故任何离散时间线性时不变系统，可以通过其单位取样响应 $h\left(n\right)$ 来完全表征。

7.2 通过系统频率响应 $H\left(e^{j\omega }\right)$ 从频域表征系统

  离散时间系统的频率响应是由系统的结构参数决定的。当输入频率为 $\omega$ 的复指数序列时，其输出必仍为同一频率的、乘上因子 $H\left(e^{j\omega }\right)$ 的复指数序列。随着输入频率 $\omega$ 的不同，$H\left(e^{j\omega }\right)$ 的值也不同。因此系统的频率响应 $H\left(e^{j\omega }\right)$ 描述了系统对不同频率的复指数序列的不同传输能力。

7.3 单位取样响应 $h\left(n\right)$ 和系统频率响应 $H\left(e^{j\omega }\right)$ 的关系

  令单位取样响应为 $h\left(n\right)$ 的线性时不变系统的输入 $x\left(n\right)=A{e}^{j\left(\omega n+{\phi }_x\right)}=A{e}^{j\omega n}{e}^{j{\phi }_x}$，则输出
$$y\left(n\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h\left(k\right)x\left(n-k\right)=\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h\left(k\right)e^{-j\omega k}\right]\cdot A{e}^{j\left(\omega n+{\phi }_x\right)}=\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h\left(k\right)e^{-j\omega k}\right]\cdot x\left(n\right)$$则系统频率响应
$$H\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h\left(k\right)e^{-j\omega k}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h\left(n\right)e^{-j\omega n}$$即离散时间线性时不变系统的频率响应 $H\left(e^{j\omega }\right)$ 就是系统的单位取样响应 $h\left(n\right)$ 的傅氏变换，是 $h\left(n\right)$ 的频谱。

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8. 共轭对称与共轭反对称

8.1 共轭对称

  若序列 $x_e\left(n\right)=x_e^{\ast }(-n)$，则称 $x_e\left(n\right)$ 是共轭对称的序列，对实序列，又称为偶序列。

8.2 共轭反对称

  若序列 $x_o\left(n\right)=-x_o^{\ast }(-n)$，则称 $x_o\left(n\right)$ 是共轭反对称的序列，对实序列，又称为奇序列。

8.3 序列的对称性

  若
$$x_e\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)+x^{\ast }\left(-n\right)\right],x_o\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)+x^{\ast }\left(-n\right)\right]$$则 $x_e\left(n\right)、x_o\left(n\right)$ 分别称为 $x\left(n\right)$ 的共轭对称序列和共轭反对称序列。显然，任意序列均可表示为该序列的共轭对称序列和共轭反对称序列的和，即
$$x\left(n\right)=x_e\left(n\right)+x_o\left(n\right)$$

8.4 傅里叶变换的共轭对称性

$$X\left(e^{j\omega }\right)=X_e\left(e^{j\omega }\right)+X_o\left(e^{j\omega }\right)$$$$X_e\left(e^{j\omega }\right)=\frac{1}{2}\left[X\left(e^{j\omega }\right)+X^{\ast }\left(e^{j\omega }\right)\right],X_o\left(e^{j\omega }\right)=\frac{1}{2}\left[X\left(e^{j\omega }\right)-X^{\ast }\left(e^{j\omega }\right)\right]$$

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9. 傅里叶变换、拉氏变换和 $z$ 变换的关系

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下一篇：Part 2——离散傅里叶级数 DFS

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1. $f\left(x\right)$ 的以 $2l$ 为周期的傅氏级数的指数形式为
   $$f\left(x\right)\sim \sum _{m=-\infty }^{\infty }{c}_m{e}^{jm\frac{x}{l}}$$其中
   $$c_m=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f\left(x\right)e^{-jm\frac{x}{l}}\mathrm{d}x$$ ↩︎

2. 直接用 $p_{\delta }\left(t\right)$ 的傅里叶变换
   $$P_{\delta }\left(t\right)=\frac{2\pi }{T}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta (\Omega -m{\Omega }_s)$$与 $x_a\left(t\right)$ 的傅里叶变换 $X_a\left(j\Omega \right)$ 卷积后除以 $2\pi$ 也可得到相应结果。 ↩︎

3. 即为周期方波的傅里叶变换。 ↩︎

4. 《信号与系统（第四版）》（曾禹村等编著，北京理工大学出版社，2018）中对 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$ 函数的定义不准确，严格来说归一化的 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$ 函数（常在信号处理领域应用）定义为 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(x\right)=\frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}$，而非归一化的 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$ 函数（常用在数学领域）定义为 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}$。在信号处理中，为了区别归一化的 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}$ 函数，定义取样函数（Sampling function）$\mathrm{S}\mathrm{a}\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}$，但二者并无本质区别。 ↩︎

5. 时域卷积定理：$x\left(t\right)\ast y\left(t\right)=X\left(j\Omega \right)\cdot Y(j\Omega )$，频域卷积定理：$x\left(t\right)\cdot y\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }X\left(j\Omega \right)\ast Y(j\Omega )$。 ↩︎