集合——离散数学part 1

集合

集合基本概念

一.集合的表示方法
二.集合的关系：相等，包含
三.特殊结合：全集，补集，幂集
☆幂集P(A)：集合A的所有子集作为元素构成的集合称为集合A的幂集
☆基：有限集A含有的元素个数
|A|=n,则$|P(A)|=2^n$
四.集合的运算
1.交，并
交换律，结合律，分配律，德摩根律
☆2.差，对称差
①差：A-B={x|x∈A∧x∉B}
$A-B=A\overline{B}$
②对称差：A⊕B=B⊕A=（A-B）∪（B-A）
A⊕B=（A∪B）-（A∩B）
☆五.证明题
在证明时，将差，对称差转换成只有∩，∪的运算，再利用各种定理定律进行证明。
①A⊕A=∅
②A⊕∅=A
③A⊕U=$\overline{A}$
④A⊕B=∅则A=B
pf：A⊕B=（A-B）∪（B-A）=∅则A-B=∅，B-A=∅，则A包含于B，B包含于A，则A=B #
⑤如果B-A=C-A，则A∪B=A∪C
pf B-A=C-A则KaTeX parse error: Undefined control sequence: \overlineA at position 17: …\overline{A}=C{\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲A̲}则KaTeX parse error: Undefined control sequence: \overlineA at position 24: …rline{A})=A∪(C{\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲A̲})，则A∪B=A∪C #
⑥A⊕B=A⊕C，则B=C
pf （A⊕B）⊕C=A⊕C⊕C=A⊕∅=A，则A⊕（（A⊕B）⊕C）=A⊕A=∅，则∅⊕（B⊕C）=∅则B⊕C=∅，则B=C #

☆排斥原理
设A,B为有限集，则|A∪B|=|A|+|B|-|AB|
推论：设$A_1,...,A_n$为有限集，则$|A_1\cup ...\cup A_n|={\sum }_{i=1}^n|A_i|+{\sum }_{1\le i<j\le n}|A_i{A}_j|+....+(-1{)}^{n-1}|A_1...A_n|$
一定要区分：$AB与ABC与AB\overline{C}，A,B,C$三种事件，$|\overline{A}BC|+|A\overline{B}C|+|AB\overline{C}|$代表仅仅有两种事件发生个数，而不要误以为是$|AB|+|AC|+|BC|$
因为A∩B∩C包含于A∩B，则|A∩B|-|A∩B∩C|表示仅有A，B发生的个数，同理仅A，C发生个数为|A∩C|-|A∩B∩C|，仅B,C发生个数为|C∩B|-|A∩B∩C|，所以仅两件事发生个数为$|AB|+|AC|+|BC|-3\ast |A\cap B\cap C|$，而不是$|AB|+|AC|+|BC|$

典型例题：
①
典型例题②

典型例题③