9、最大公约数与线性丢番图方程的深入探索

最大公约数与线性丢番图方程的深入探索

1. 最大公约数的计算与探索

1.1 计算任务

我们面临一些计算最大公约数的任务，例如：
- 计算((9876543210, 123456789))、((11111111111, 1000000001))和((45666020043321, 73433510078091009))。
- 为上述每对整数找出贝祖系数。

1.2 定理验证与算法比较

• 验证拉梅定理 ：选取几对不同的大正整数来验证拉梅定理。
• 算法比较 ：比较使用欧几里得算法、练习9前言中描述的算法以及练习14前言中描述的最小余数算法来求不同大正整数对的最大公约数所需的步骤数。

1.3 互质整数对比例估计

估计正整数对((a, b))互质的比例，其中(a)和(b)分别不超过(1000)、(10000)、(100000)和(1000000)。可以随机选取少量这样的数对进行测试。

1.4 编程项目

以下是一些编程项目：
1. 给定两个整数，使用欧几里得算法求它们的最大公约数。
2. 给定两个整数，使用练习14前言中给出的修改后的欧几里得算法求它们的最大公约数。
3. 给定两个正整数，不使用除法求它们的最大公约数。
4. 给定一组超过两个的整数，求它们的最大公约数。
5. 给定一对正整数，求它们的贝祖系数。
6. 给定一组超过两个的整数，求它们的贝祖系数。
7. 玩