7、最大公约数：性质、定理与应用

最大公约数：性质、定理与应用

1. 最大公约数基础概念

最大公约数是数论中的一个重要概念。对于两个不全为 0 的整数 (a) 和 (b)，它们的最大公约数记为 ((a, b))，是能同时整除 (a) 和 (b) 的最大整数。特别规定 ((0, 0) = 0)，以确保相关结论在所有情况下都成立。若两个整数除了 1 以外没有其他大于 1 的公约数，则称它们互质。

由于 (-a) 和 (a) 的约数相同，所以 ((a, b) = (|a|, |b|))，这意味着我们可以将注意力集中在正整数对的最大公约数上。例如，((15, 81) = 3)，将 15 和 81 都除以 3 后得到 5 和 27，它们是互质的。这体现了下面的定理：

定理 3.1

若 (a) 和 (b) 是整数且 ((a, b) = d)，则 ((a/d, b/d) = 1)，即 (a/d) 和 (b/d) 互质。

证明 ：设 (a) 和 (b) 满足 ((a, b) = d)。假设 (e) 是一个正整数，使得 (e | (a/d)) 且 (e | (b/d))，那么存在整数 (k) 和 (l) 使得 (a/d = ke)，(b/d = le)，即 (a = dek)，(b = del)。所以 (de) 是 (a) 和 (b) 的公约数。因为 (d) 是 (a) 和 (b) 的最大公约数，所以 (de ≤ d)，从而 (e) 只能为 1，即 ((a/d, b/d) = 1)。

推论 3.1.1

若 (a) 和 (b \neq 0) 是整数，则存在整数 (p) 和 (q \neq 0) 使得 (a/b