3、密码学基础：整除性、最大公约数与模运算

密码学基础：整除性、最大公约数与模运算

1. 整除性与最大公约数

在数论中，整除性是一个基础概念。整数集 (Z) 包含所有整数，整数之间可以进行加、减、乘运算，结果仍为整数，这符合环的特性。但整数的除法并非总能在整数集内进行，例如 (3) 不能被 (2) 整除，这引出了整除性的定义。

• 整除性定义 ：设 (a) 和 (b) 为整数，且 (b \neq 0)，若存在整数 (c) 使得 (a = bc)，则称 (b) 整除 (a)，记作 (b | a)；若 (b) 不能整除 (a)，则记作 (b \nmid a)。例如 (847 | 485331)，因为 (485331 = 847 \times 573)；而 (355 \nmid 259943)，因为 (259943 = 355 \times 732 + 83)，有余数。
• 整除性性质 ：
  • 若 (a | b) 且 (b | c)，则 (a | c)。
  • 若 (a | b) 且 (b | a)，则 (a = \pm b)。
  • 若 (a | b) 且 (a | c)，则 (a | (b + c)) 且 (a | (b - c))。

两个整数 (a) 和 (b) 的公约数是能同时整除它们的正整数，其中最大的称为最大公约数，记作 (gcd(a, b)) 或 ((a, b))（当 (a) 和 (b) 不全为 (0) 时）。例如 (gcd(12, 18) = 6)，(gcd(748, 2024) = 44)。