15、同余理论：线性同余与中国剩余定理的深入探索

同余理论：线性同余与中国剩余定理的深入探索

1. 同余基础与多项式同余

1.1 多项式同余性质

若 (p) 为素数，(f(x)) 是多项式，(a_1,a_2,\cdots,a_k) 是模 (p) 不同余的整数，且 (f(a_j)\equiv0\pmod{p})（(j = 1,2,\cdots,k)），则存在多项式 (g(x))，使得 (f(x)) 与 ((x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_k)g(x)) 作为模 (p) 的多项式同余。

1.2 多项式同余解的个数

设 (p) 是素数，(f(x)) 是多项式，(x^n) 是 (x) 的最高次幂且其系数不能被 (p) 整除，那么同余式 (f(x)\equiv0\pmod{p}) 至多有 (n) 个模 (p) 不同余的解。

1.3 同余类运算的定义

对于模 (n)（(n\geq2)）的同余类，其和、差、积的运算结果是良定义的，即这些运算的结果不依赖于同余类中用于计算的特定元素。

2. 线性同余

2.1 线性同余的基本概念

形如 (ax\equiv b\pmod{m})（(x) 为未知整数）的同余式称为一元线性同余式。若 (x = x_0) 是 (ax\equiv b\pmod{m}) 的解，且 (x_1\equiv x_0\pmod{m})，则 (x_1) 也是该同余式的解。所以我们关注模 (m) 下不同余解的个数。

2.2 线性同余解的存在性与个数

定理 5.12 指出，设 (a,b,m) 为整数，(m>0)，((a,m)