45、非线性丢番图方程与椭圆曲线的探索

非线性丢番图方程与椭圆曲线的探索

1. 问题引入与基础概念

在数论的研究中，有许多有趣的问题围绕着非线性丢番图方程和椭圆曲线展开。我们先来看看一些基础的问题和概念。

1.1 立方和问题

我们要探索哪些正整数可以写成非负整数的 $n$ 次方之和，这里 $n$ 取值为 2、3、4、5。例如，我们要找出所有能表示为两个非负整数立方和的正整数。

1.2 出租车数

第 $n$ 个出租车数，记为 $Ta(n)$，也常被称为第 $n$ 个哈代 - 拉马努金数，它是能以 $n$ 种方式表示为两个正整数立方和的最小整数。比如，$Ta(1) = 2$，因为 $1^3 + 1^3 = 2$。拉马努金曾对哈代说 $Ta(2) = 1729$，当哈代去医院看望拉马努金时，提到他坐的出租车编号是 1729，觉得这是个无趣的数字，而拉马努金回应说 1729 并不无趣，因为它是能以两种不同方式表示为两个正整数立方和的最小整数。

1.3 平方和表示问题

编程项目中，我们需要确定一个正整数 $n$ 是否能表示为两个平方数之和，如果可以，要给出具体的表示方式。同时，对于给定的正整数 $n$，要将其表示为四个平方数之和。

2. 佩尔方程

2.1 佩尔方程的定义与特殊情况

佩尔方程的形式为 $x^2 - dy^2 = n$，其中 $d$ 和 $n$ 是固定的整数。我们先来看一些特殊情况：
- 当 $d < 0$ 且 $n < 0$ 时，方程 $x^2 - dy^2 = n$ 没有解。
- 当 $d < 0$ 且 $n >