欧拉定理及其证明

最新推荐文章于 2023-08-13 15:14:27 发布

ymzqwq

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分类专栏：数论

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我真的很逊，所以有错也说不定。
这篇很简，所以看不懂也说不定。

总觉得小满哥讲过这个证明，虽然身为老年健忘选手我大概是不记得什么了。。

欧拉定理： $n)a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ (mod \ n)$ ，其中 $(a, n) = 1$
费马小定理： $p)a^{p-1} \equiv 1 \ (mod\ p)$ ，其中 $(a, p) = 1$ ，容易发现是欧拉定理的一种特殊情况。

欧拉定理证明：（同余式默认模 $n$ ）
设 $X1,X2,...,Xφ(n)X_1,X_2,...,X_{\varphi(n)}$ 是 $1$ 到 $n$ 里与 $n$ 互质的数，容易发现它们模 $n$ 两两不同，且余数都与 $n$ 互质（废话，因为模了之后还是原数嘛）

然后我们发现 $aX1,aX2,...,aXφ(n)aX_1,aX_2,...,aX_{\varphi(n)}$ 好像也有如上两个性质。。

模 $n$ 两两不同：反证，若 $n)aX_i \equiv aX_j \ (mod\ n)$ ，则 $aXi−aXj≡0aX_i-aX_j \equiv 0$ ，则 $a(Xi−Xj)≡0a(X_i-X_j) \equiv 0$ ，由于 $a$ 与 $n$ 互质， $X_i-X_j$ 不可能是 $n$ 的倍数，所以模 $n$ 一定不为 $0$

余数都与 $n$ 互质： $a$ 与 $n$ 互质， $X_i$ 与 $n$ 互质，所以 $aX_i$ 也与 $n$ 互质（这很感性理解orz）

有了这两个性质，我们就可以发现 $aX1,aX2,...,aXφ(n)aX_1,aX_2,...,aX_{\varphi(n)}$ 模 $n$ 后一定是 $φ(n)\varphi(n)$ 个不同的与 $n$ 互质的数，那不就肯定是 $X1,X2,...,Xφ(n)X_1,X_2,...,X_{\varphi(n)}$ 这个集合。