AtCoder Beginner Contest 214 G. Three Permutations（组合数学 容斥 背包 二项式反演）

原创 已于 2024-01-21 20:27:37 修改 · 506 阅读 · 5 ·
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#组合数学 #容斥 #二项式反演 #计数

于 2024-01-21 20:19:21 首次发布
文章介绍了如何利用容斥思想和二项式反演解决给定排列中避免特定冲突的排列数量问题，涉及图论、动态规划和IT竞赛解题方法。
题目

给定长为n(n<=3e3)的排列p和排列q，

求满足以下限制条件的排列r的方案数，答案对1e9+7取模

限制条件：对于任意i∈[1,n]，都有ri不等于pi，且ri不等于qi

思路来源

https://www.cnblogs.com/ak-dream/p/AK_Dream123.html

题解

感觉思路来源写的挺详细的，复述一遍

考虑容斥，算恰好冲突的k次的方案数，

剩下的随便选，转化成至少冲突k次的方案数，利用二项式反演解决

1. 先p[i]和q[i]之间连边建图，转化成若干个环和孤立点

2. 对于孤立点，想冲突只能选和孤立点相同的值

对于环来说，一个长为n的环，

如果需要选k条边，每条边需要钦定一个端点， 并且k条边之间钦定的端点不能相同

变边为点：把要选的边也看成是一个端点，并和其原来左右相连的两个端点各连一条边

这样仍然是一个环，

原来的操作：选一条边并钦定一个相连的点，

在新环上：则认为是在长度为2*n的环上，选择一对相邻的点两两匹配，

长为n的环上选k对相邻点的方案数

 刚才的博弈题也用到了这个计数技巧，

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### 背包问题计算方案数的动态规划算法 #### 动态规划的核心思想 动态规划是一种通过将复杂问题分解为更简单的子问题来解决问题的方法。在背包问题中，目标是找到一种方法，在不超过容量的情况下最大化价值或者统计可能的组合数量。如果可以保存已经解决的子问题的结果，则可以通过查表的方式避免重复计算，从而提高效率[^1]。 #### 方案数的具体实现逻辑 为了计算背包问题中的不同装载方式的数量，可以定义一个二维数组 `dp[i][j]` 表示前 `i` 件物品放入容量为 `j` 的背包的不同方案数目。初始状态下，当没有任何物品时 (`i=0`) 或者背包容量为零时 (`j=0`)，只有一种情况即什么都不放，因此有： ```python dp[0][j] = dp[i][0] = 1, 对于所有的 i 和 j。 ``` 对于每一件新加入考虑的物品 `w_i`, 如果其重量大于当前剩余容量 `j` 则无法选择此物；否则可以选择不选或选取这件物品两种可能性之和作为新的状态转移方程: ```python if w[i] > j: dp[i][j] = dp[i-1][j] else: dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-w[i]] ``` 这里需要注意的是边界条件以及初始化设置正确与否直接影响最终结果准确性[^3]。 #### Java 实现代码样例 以下是基于上述理论的一个简单 java 版本实现例子： ```java public class KnapsackSolutionCount { public static int countSolutions(int W, int[] weights){ int n = weights.length; // 创建 DP 数组并初始化 int[][] dp = new int[n+1][W+1]; for (int i = 0; i <=n ; ++i) dp[i][0]=1; for (int i = 1;i<=n;++i){ for (int j = 1;j<=W;++j){ if(weights[i-1]>j) dp[i][j]=dp[i-1][j]; else dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-weights[i-1]]; } } return dp[n][W]; } public static void main(String args[]){ int capacity = 8; int [] itemsWeight={2,3,5}; System.out.println(countSolutions(capacity,itemsWeight)); } } ``` 尽管这种方法有效解决了中小规模的数据集上的背包问题计数需求，但对于非常大规模的情况仍可能存在性能瓶颈由于所需内存与运行时间随输入尺寸呈指数级增加的趋势所决定[^2]。
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