1到n的k次方和

$$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$
$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$$
$$\sum _{i=1}^n{i}^3=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$$
$$\sum _{i=1}^n{i}^4=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}$$

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补个证明，以平方和为例，高次类似。

$\{\begin{array}{l}(n+1{)}^3-n^3=3n^2+3n+1\\ n^3-(n-1{)}^3=3(n-1{)}^2+3(n-1)+1\\ \cdots \\ \cdots \\ 2^3-1^3=3\cdot 1^2+3\cdot 1+1\end{array}$

左右分别相加，设${\sum }_{i=1}^n{i}^2=X$，则有$$(n+1{)}^3-1^3=3X+3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n$$
整理可得$$X=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$$

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听说大概还可以用拉格朗日插值法？
博主太菜了，暂时还不会QAQ