平稳过程题目笔记

最新推荐文章于 2025-07-28 17:30:49 发布

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博客围绕平稳过程展开，先定义了过程 {Yt}，证明其协方差与 t 无关，但因期望与 t 有关，得出 {Yt} 非平稳过程；又探讨无穷阶移动平均过程 {Xt}，验证其为平稳过程，计算了自相关函数，还证明 {Xt} 满足 1 阶自回归过程。

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1、假设 ${X_t\}$ 为平稳过程，定义 $Y_t=X_t$ ，当 $t$ 为奇数时； $Y_t=X_t+3$ ，当 $t$ 为偶数时，回答下列问题：
$（ 1 ）$ 证明 $Cov(Y_t,Y_{t+k})$ 与 $t$ 无关只与 $k$ 有关；
$（ 2 ）$ ${Y_t\}$ 是否为平稳过程。
证明：
$（ 1 ）$ 因为 $Yt−E(Yt)=Xt−E(Xt),∀t\quad Y_t-E(Y_t)=X_t-E(X_t),\quad \forall t$
所以 $Cov(Yt,Yt+k)=E(Yt−E(Yt))(Yt+k−E(Yt+k))=E(Xt−E(Xt))(Xt+k−E(Xt+k))=Cov(Xt,Xt+k)Cov(Y_t,Y_{t+k})=E(Y_t-E(Y_t))(Y_{t+k}-E(Y_{t+k})) \\ \quad \qquad \qquad \qquad= E(X_t-E(X_t))(X_{t+k}-E(X_{t+k})) \\ =Cov(X_t,X_{t+k}) \quad$ $（ 2 ）$ 当 $t$ 为奇数时， $E(Yt)=E(Xt)=μxE(Y_t)=E(X_t)=\mu_x$ ；
当 $t$ 为偶数时， $E(Yt)=E(Xt+3)=μx+3E(Y_t)=E(X_t+3)=\mu_x+3$ ；即 $E(Y_{t})$ 的值与 $t$ 有关，因此不是常数，故 ${Y_t\}$ 不是平稳过程。

2、考虑无穷阶移动平均过程 $Xt=Zt+ϕZt−1+ϕ2Zt−2+⋯X_t=Z_t+\phi Z_{t-1}+\phi^2 Z_{t-2}+\cdots$ ，回答下列问题：
$（ 1 ）$ 验证 ${X_t\}$ 为平稳过程，其中 $∣ϕ∣<1|\phi|<1$ ；
$（ 2 ）$ 计算其 $A CF$ ；
$（ 3 ）$ 验证 ${X_t\}$ 满足 $Xt=ϕXt−1+Zt.X_t=\phi X_{t-1}+Z_t.$ 我们把 ${X_t\}$ 称为 $1$ 阶自回归过程，记为 $A R (1) .$
解:
$（ 1 ）$ 因为 ${Zt}∼WN(0,σ2)\{Z_t\}\sim WN(0,\sigma^2)$ ，则 $)=0E(X_t)=E(Z_t+\phi Z_{t-1}+\phi^2 Z_{t-2}+\cdots)=0$ 且 $γ(k)=Cov(Xt,Xt+k)=∑i=0+∞ϕiϕi+kσZ2=ϕk1−ϕ2σZ2,(k≥0)\gamma(k)=Cov(X_t,X_{t+k})=\sum_{i=0}^{+\infty}\phi^i\phi^{i+k}\sigma^2_{Z}=\frac{\phi^{k}}{1-\phi^2}\sigma^2_Z,\quad (k\geq0)$ 当 $k = 0$ 时， $γ(0)=Var(Xt)=σZ21−ϕ2<+∞\gamma(0)=Var(X_t)=\frac{\sigma^2_Z}{1-\phi^2}<+\infty$ ，故 ${X_t\}$ 为平稳过程。
$（ 2 ）$ $ACF：ρk=γ(k)γ(0)=ϕk,(∣ϕ∣<1,k≥0)ACF：\rho_k=\frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}=\phi^k,\quad (|\phi|<1,k\geq0)$ $（ 3 ）$ $)=Zt+ϕXt−1\begin{align*}X_t&=Z_t+\phi Z_{t-1}+\phi^2 Z_{t-2}+\cdots \\ &=Z_t+\phi(Z_{t-1}+\phi Z_{t-2}+\cdots) \\ &=Z_t +\phi X_{t-1} \end{align*}$