匈牙利算法

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名词：
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

简介：
设G=(V,E）是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1,V2之并，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。则称图G为二分图。二分图也可记为G=(V1,V2,E）。
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximal matching problem)
如果一个匹配中，|V1|<=|V2|且匹配数|M|=|V1|则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。特别的当|V1|=|V2|称为完美匹配。

概念：
在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。
M-交错路：p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。如：路径（X3,Y2,X1,Y4），（Y1,X2,Y3）。
M-饱和点：对于v∈V(G），如果v与M中的某条边关联，则称v是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。
M-可增广路：p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。如（X3,Y2,X1,Y4）。（不要和流网络中的增广路径弄混了）
求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法（称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）。
增广路的定义（也称增广轨或交错轨）：——这货是一条通路
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
由增广路的定义可以推出下述三个结论：
1－P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2－将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
算法轮廓：
⑴置M为空
⑵找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M
⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止
示例：http://blog.youkuaiyun.com/killua_99/article/details/9833755
复杂度：
时间复杂度邻接矩阵：最坏为O(n^3）邻接表：O(mn)
空间复杂度 邻接矩阵：O(n^2） 邻接表：O(m+n)