匈牙利算法证明

关于匈牙利算法大家可以自行百度，这里主要想说一下为什么当没有增广路径的时候得到的匹配集合就是最大匹配。假设最大匹配集合的大小为M。证明如下：

增广路径：从未匹配点出发，未匹配边，匹配边，未匹配边，直到遇到未匹配点的时候结束。

每次找完增广路径后，将增广路径的边与现有的匹配进行异或操作更新最大匹配集合。

重复这个过程直到没有增广路径。

当没有增广路径时，没有一条边是这样的，端点没有任何一点是属于最大匹配边集合中的点。

那么剩下的边总有端点在最大匹配边集合中。这样的话假如新的匹配集合不包含原最大匹配边中任意一条边，那么这个新的匹配集合如果想要比原来的大，那必定是左边的选几个点，右边的选几个点。而且任意两个点相互连接不能属于原来的匹配点集合，因为属于的话就会找到一条增广路径，与假设矛盾。这样交错开得到的集合不可能比原来的大。而且每一边的点只能选一次，一个点代表了一条边，不可能比原来的大。（第一种，这些边没有哪条边是两个断点都属于原来集合的，这种情况不可能大于，第二种，这些边有部分两个端点都属于原来集合的，那么剩下d=Mk-N条边都是有一个点不属于原来集合的，d也必然是交错的，这样d+N也不可能大于原来的M）