数论基础与算法实现-优快云博客

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本文介绍了数论中的一些基础知识及算法实现，包括龟速乘、线性筛、最大公约数与最小公倍数计算、同余理论、费马小定理、欧拉函数、欧拉定理、裴蜀定理及扩展欧几里得算法、中国剩余定理等。

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数论这东西，对于我学起来还是比较吃力的，特作此篇
$\bullet$ 不用二进制和位运算的龟速乘板子

long long gsc(long long a,long long b,long long p)
{
	while(a){ans+=((a%10)*b%q)%q;ans%=q;b=b*10%q;a/=10;}
	return ans;
}

$\bullet$ 线性筛筛质数一点也不详的解与算术基本定理

int v[maxn],prime[maxn];
int getprimes(int n)
{
	int m=0;
	for(int y=2;y<=n;y++)
	{
		if(v[y]==0) {v[y]=y;prime[++m]=y;}
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			int x=prime[i];
			if(x>v[y]) break;
			if(x*y>n) break;
			int z=x*y;
			v[z]=x;
		}
	}
	return m;
}

$\bullet$ 最大公约数gcd和最小公倍数lcm
板子：

int gcd(int x,int y)
{
    if(y==0) return x;
    else return gcd(y,x%y);
}

int lcm(int x,int y)
{
	return (a*b/gcd(a,b));
}

$\bullet$ 同余，同余类，剩余系的定义
$\bullet$ 费马小定理看了等于没看证明
$\bullet$ 欧拉函数巨水解
求一个

ll eular(ll n)
{
	ll ans=n;
	for(int i=2;i*2<=n;i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0)  n/=i;
		}
	}
	if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}

筛

int euler[N],cnt,primes[N];
bool st[N];
void get_eulers(int n)
{
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt++]=i;
            euler[i]=i-1;
        }
        for (int j=0;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            int t=primes[j]*i;
            st[t]=true;
            if (i%primes[j]==0)
            {
                euler[t]=euler[i]*primes[j];
                break;
            }
            euler[t]=euler[i]*(primes[j]-1);
        }
    }
}