线性筛筛质数一点也不详的解与算术基本定理

如果一个数无法被除了1和自身外的任何自然数整除，那么就称这个数为质数。
一般情况下对于一个足够大的整数N，不超过N的质数大约有$N/ln(N)$个，即每$ln(N)$个数中大约有一个质数（《算法竞赛进阶指南》上写的，我不会证明）。

比较无脑的判断质数的方法为试除法：

写一个$for$循环，从$2$到$n-1$都$Mod$一下，若都不等于$0$，则说明这个数为质数。

试除法稍微聪明一点的话：

写一个$for$循环，从$2$到$\sqrt[2]{n}$(虽说书上是这么写，但我一般$Mod$到$\sqrt[2]{n}+1$)都$Mod$一下，若都不等于$0$，则说明这个数为质数。
而要直接筛出一个区间的的话，当然是选择$Eratosthenes$筛法（埃氏筛）或者线性筛（欧拉筛）更快一点，这里直接讲线性筛

int v[maxn],prime[maxn];
int getprimes(int n)
{
	int m=0;
	for(int y=2;y<=n;y++)
	{
		if(v[y]==0) {v[y]=y;prime[++m]=y;}
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			int x=prime[i];
			if(x>v[y]) break;
			if(x*y>n) break;
			int z=x*y;
			v[z]=x;
		}
	}
	return m;
}

直接筛出来$1$到$n$之间的质数，共有$m$个(不包括$1$)
若$v[i]==i$，则$i$为质数
$prime[i]$存的是$1$到$m$中的第$i$个质数
因为一个数的因数只能是比自己小的，而$2$是最小的质数，所以从$2$开始
然后找到$v[2]==0$表示2没有因数，所以就$v[2]=2$
$prime[++m]=y$，第一个质数为$2$
然后进入循环，所有下标是$2$的倍数的都是$2$
这样的话第$n$个数如果有因数则$v[n]$等于这个因数
否则为$0$
为$0$时表示是质数
例题：
$\bullet$ 素数个数
$\bullet$ 【模板】线性筛素数
$\bullet$ UVA10140 Prime Distance

算术基本定理

任何一个大于1的正整数都能唯一分解为有限个质数的乘积，可写为：
$N=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}{p}_3^{c_3}\dots p_m^{c_m}$
其中$c_i$都是正整数，$p_i$都是质数，且满足$p_1<p_2<\dots p_m$