欧拉定理算是费马小定理的推论吧_用费马小定理推出欧拉定理吗-优快云博客

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本文探讨了欧拉定理及其与费马小定理的关系，并给出了具体的数学证明过程。当n为质数时，欧拉定理退化为费马小定理。此外还介绍了欧拉定理的推论及其应用。

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内容

若正整数 $a$ ， $n$ 互质，则 $aφ(n)≡1(moda^{φ(n)}\equiv 1(mod$ $n)$ ，其中 $φ (n)$ 为欧拉函数。

为什么说欧拉定理算是费马小定理的推论？

当n为质数时φ(n)为n-1，因为n为质数时所有比n小的数都与n互质
此时 $aφ(n)≡1(moda^{φ(n)}\equiv 1(mod$ $n)$ 即为 $an−1≡1(moda^{n-1}\equiv 1(mod$ $n)$
两边同时乘上 $a$ 得 $ap≡a(moda^{p}\equiv a(mod$ $n)$

好了开始证明欧拉定理吧

~~一时间竟不知道从何处下手~~
在这里插入图片描述
转自：https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/9267675.html#autoid-3-3-0
由以上性质可证欧拉定理

欧拉定理推论

若正整数 $a, n$ 互质，则对于任意的正整数 $b$ ，有 $n)a^b\equiv a^{(b\ mod \ \ φ(n))}(mod \ n)$
证明：
$na^b \ mod \ \ n=a^{(φ(n)*k)} \times a^{(b\ mod \ φ(n))} \ mod \ n=a^{(b \ mod \ φ(n))} \ mod \ n$
在一些计数的问题中，常常要求对结果取模，但面对乘方时，无法直接取模，可以先把底数对 $p$ 取模，指数对 $φ (p)$ 取模，再计算乘方
特别的，当不保证 $a, n$ 互质时，若 $b > φ (n)$ ，有 $n)a^b\equiv a^{b\ mod \ φ(n)+φ(n)}(mod \ n)$
这也就意味着即使不保证互质，我们也可把乘方运算缩小到容易计算的规模。