CodeForces 285 E.Positions in Permutations（dp+组合数学）

最新推荐文章于 2022-08-05 14:02:00 发布

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本文探讨了排列权值的概念，定义了一个排列的权值，并提出了一种动态规划的方法来解决给定长度排列且权值为特定数值的问题。通过递推公式实现了高效计算满足条件的排列数量。

Description

定义一个排列的权为满足 $|p_i-i|=1$ 的 $i$ 的个数，问长度为 $n$ 的排列且权为 $k$ 的有多少个

Input

两个整数 $n,k(1\le n\le 1000,0\le k\le n)$

Output

输出满足条件的排列数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

3 2

Sample Output

Solution

第 $i$ 个位置想合法必然要放 $i-1$ 或 $i+1$ ，但 $i-1$ 可能会被第 $i-2$ 个位置用了，所以用 $dp[i]][j][x][y]$ 表示前 $i$ 个位置权为 $j$ 且第 $i$ 个位置被使用 $x=1$ (没被使用 $(x=0)$ )，第 $i+1$ 个位置被使用 $y=1$ (没被使用 $(y=0)$ )，考虑当前位放 $i-1$ 或 $i+1$ 或其他数字有转移方程

$dp[i][j+1][y][0]+=dp[i-1][j][0][y]$

$dp[i][j+1][y][1]+=dp[i-1][j][x][y],i<n$

$dp[i][j][y][0]=dp[i-1][j][x][y]$

令 $f[i]=(n-i)!\cdot \sum\limits_{x=0}^1\sum\limits_{y=0}^1dp[n][i][x][y]$ ，则 $f[i]$ 为权至少为 $i$ 的排列个数，那么对于 $i<j$ ，权至少为 $j$ 的排列在权至少为 $i$ 的排列中出现了 $C_j^i$ 次，所以有 $f[i]-=C_j^i\cdot f[j]$ ，最终 $f[k]$ 即为答案

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1005;
#define mod 1000000007
int C[maxn][maxn],fact[maxn];
void add(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
void sub(int &x,int y)
{
    x=x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
void init(int n=1000)
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)add(C[i][j],C[i-1][j-1]+C[i-1][j]);
    }
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
}
int n,k,dp[maxn][maxn][2][2],f[maxn];
int main()
{
    init();
    scanf("%d%d",&n,&k);
    dp[0][0][1][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<i;j++)
            for(int x=0;x<=1;x++)
                for(int y=0;y<=1;y++)
                {
                    if(!x)add(dp[i][j+1][y][0],dp[i-1][j][x][y]);
                    if(i<n)add(dp[i][j+1][y][1],dp[i-1][j][x][y]);
                    add(dp[i][j][y][0],dp[i-1][j][x][y]); 
                }
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int x=0;x<=1;x++)
            for(int y=0;y<=1;y++)
                add(f[i],dp[n][i][x][y]);
    for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=(ll)f[i]*fact[n-i]%mod;
    for(int i=n-1;i>=k;i--)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            sub(f[i],(ll)f[j]*C[j][i]%mod);
    printf("%d\n",f[k]);
    return 0;
}