[学习笔记]拉格朗日插值法求多项式系数

一、引入

我们会遇到这样的问题：
给定 $n$ 个点 $(x_i,y_i)$ ，求一个 $n-1$ 次多项式函数 $f(x)$ ，
使对于每个 $i$ ，都有 $f(x_i)=y_i$ 。
其中 $x_i$ 互不相同。
利用线性代数的知识可以得出有且仅有一个 $f(x)$ 满足条件。

二、结论

下面直接给出结论：

$$f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}y_i\prod_{j=0,j\ne i}^{n-1}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
复杂度 $O(n^2)$ 。

三、证明

对于任意 $0\le k<n$ ，将