Shao_yihao的博客

迭代法解非线性方程之弦截法与抛物线法

迭代法解非线性方程之牛顿法

设某种方法得到的迭代序列{xk}\{x_k\}{xk​}中相邻2个近似值的误差之比近似为定值LLL，则x1−x∗≈L(x0−x∗)x2−x∗≈L(x1−x∗)x_1-x^*\approx L(x_0-x^*)\\x_2-x^*\approx L(x_1-x^*)x1​−x∗≈L(x0​−x∗)x2​−x∗≈L(x1​−x∗)x1−x∗x0−x∗≈x2−x∗x1−x∗\frac{x_1-x^*}{x_0-x^*}\approx\frac{x_2-x^*}{x_1-x^*}x0​−x∗x1​−x∗​≈x1​−x

迭代法解非线性方程之不动点法

向量序列的极限向量x⃗(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T∈Rn\mathbf{\vec{x}}^{(k)}=(x_1^{(k)},x_2^{(k)},...,x_n^{(k)})^T\in\mathbb{R}^nx(k)=(x1(k)​,x2(k)​,...,xn(k)​)T∈Rn，对于向量序列{x⃗(k)}\{\mathbf{\vec{x}}^{(k)}\}{x(k)}，若存在c⃗=(c1,c2,...,cn)T\mathbf{\vec{c}}=(c_1,c_2,...,c_n)^

对于线性方程组 x⃗=Bx⃗+f⃗\vec{x}=B\vec{x}+\vec{f}x=Bx+f​，按下列公式迭代构造向量序列：x⃗(k+1)=Bx⃗(k)+f⃗\vec{x}^{(k+1)}=B\vec{x}^{(k)}+\vec{f}x(k+1)=Bx(k)+f​产生的向量序列 x⃗(k)\vec{x}^{(k)}x(k) 是否一定逐步逼近方程组的解 x⃗∗\vec{x}^*x∗ 呢？答案是不一定。引进误差向量 ε⃗(k+1)=x⃗(k+1)−x⃗∗\vec{\varepsilon}^{(k+1)} .

病态方程组求解线性方程组Ax⃗=b⃗A\vec{x}=\vec{b}Ax=b时，由于A,b⃗A,\vec{b}A,b是由计算或观察得来，它们的误差会对最终解x⃗\vec{x}x产生影响。特别是，当线性方程组为病态方程组时，A,b⃗A,\vec{b}A,b的小误差可能会导致解出的x⃗\vec{x}x与真实值相差很大。注意：矩阵的“病态”性质是矩阵本身的性质。条件数对于非奇异阵AAA，定义AAA的条件数为：cond(A)v=∣∣A−1∣∣v⋅∣∣A∣∣vcond(A)_v=||A^{-1}||_

向量范数向量范数是对 Rn\mathbb{R^n}Rn(nnn维向量空间) 中向量的“大小”进行衡量，是三维欧式空间中向量长度概念的推广。定义：若向量x⃗∈Rn\vec{x}\in\mathbb{R^n}x∈Rn的某个实值函数 N(x⃗)=∣∣x⃗∣∣N(\vec{x})=||\vec{x}||N(x)=∣∣x∣∣ 满足条件：∣∣x⃗∣∣≥0||\vec{x}||\ge 0∣∣x∣∣≥0（等号成立⟺x⃗=0⃗\Longleftrightarrow \vec{x}=\vec{0}⟺x=0）∣∣cx⃗

将指数aka^kak理解为，每当指数kkk减1，数值就变为原来的1a\frac{1}{a}a1​；每当指数kkk加1，数值就变为原来的aaa倍。0经常起到占位的作用，使问题简单化。除法就像分组，根据被除数的余数来确定它属于哪个组。余数可以将较大的数字以O(1)O(1)O(1)进行分组。奇偶校验数学归纳法可以类比为“多米诺骨牌”，通常分为2步：证明P(0)P(0)P(0)成立（让第一个多米诺骨牌倒下）证明任意k>0k>0k>0时， 若P(k)..

文章目录矩阵的LU分解直接三角分解法矩阵的LU分解对系数矩阵进行初等行变换相当于用初等矩阵左乘系数矩阵，即：L1A=A(2),    L1b=b(2)...LkA(k)=A(k+1),    Lkb(k)=b(k+1)L_1A=A^{(2)}, \ \ \ \ L_1\mathbf{b}=\mathbf{b}^{(2)}\\...\\L_kA^{(k)}=A^{(k+1)}, \ \ \ \ L_k\mathbf{b}^{(

高斯消去法的核心思想：将原线性方程组化为与其等价的三角形线性方程组（消元），再通过 回代 的方法求解。{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2⋮an1x1+an2x2+...+annxn=bn\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+.

线性代数是一种描述“空间”的工具，向量空间是对现实空间进行一定程度的抽象化后得到的产物。将一组数据理解为高维空间中的“点”，我们就可以利用自己的直观感受，通过“空间”来理解数据的行为。字面意思实际含义向量排成一列的数字有向线段、空间内的点矩阵排成矩形的数字空间到空间的映射行列式麻烦的计算上述映射的“放大率”文章目录向量向量空间矩阵和映射矩阵的逆用矩阵表示各种关系坐标变换与矩阵行列式向量当我们需要将几个数值放在一起，作为一个整体来考虑的时候，就有了向

文章目录高斯求积公式高斯求积公式的余项一些典型高斯求积公式高斯—勒让德求积公式高斯—切比雪夫求积公式高斯求积公式由n+1n+1n+1个节点构造的插值型求积公式I=∑k=0nAkf(xk)I=\sum\limits_{k=0}^nA_kf(x_k)I=k=0∑n​Ak​f(xk​)含x0,...,xn,A0,...,Akx_0,...,x_n,A_0,...,A_kx0​,...,xn​,A0​,...,Ak​共2n+22n+22n+2个参数。该求积公式的代数精度至少为nnn，最高可以达到2n+12n+

梯形法的递推化将积分区间[a,b][a,b][a,b]分为 nnn 等份，步长h=b−anh=\frac{b-a}{n}h=nb−a​，得nnn个子区间。在每个子区间[xk,xk+1][x_k,x_{k+1}][xk​,xk+1​]上采用梯形公式，得：Tn=h2[f(a)+2∑k=1n−1f(xk)+f(b)](1)T_n=\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)\right]\tag{1}Tn​=2h​[f(a)+2k=1∑n−1​f(xk​

文章目录平均高度牛顿—柯特斯公式余项复合求积公式复合梯形公式复合辛普森公式平均高度积分中值定理告诉我们，在积分区间[a,b][a,b][a,b]内存在一点ξ\xiξ，有：∫abf(x)dx=(b−a)f(ξ)\int_a^bf(x)dx=(b-a)f(\xi)∫ab​f(x)dx=(b−a)f(ξ)即：存在一个矩形的面积与被积部分的面积相等。称 f(ξ)f(\xi)f(ξ)为区间[a,b][a,b][a,b]上的平均高度。f(ξ)f(\xi)f(ξ)一般是不知道的，因此需要用一些算法来近似f(ξ)f(

利用牛顿-莱布尼茨公式求积分时实际运用时往往有困难：存在大量的被积函数的原函数不能用初等函数表达一些函数的原函数即使能求出也是否复杂f(x)f(x)f(x)可能是由测量或数值计算给出的一张数据表文章目录机械求积代数精度插值型的求积公式求积公式的误差（余项）机械求积积分中值定理告诉我们，在积分区间[a,b][a,b][a,b]内存在一点ξ\xiξ，有：∫abf(x)dx=(b−a)f(ξ)\int_a^bf(x)dx=(b-a)f(\xi)∫ab​f(x)dx=(b−a)f(ξ)即：存在一个矩

函数逼近：在区间[a,b][a,b][a,b]上用简单函数逼近已知复杂函数。插值法就是函数逼近的一种。对函数类AAA中的给定函数f(x)f(x)f(x)，在另一类简单的便于计算的函数类BBB中求函数p(x)p(x)p(x)，使p(x)p(x)p(x)与f(x)f(x)f(x)的误差在某种度量意义下最小。连续函数不能用有限个线性无关的函数表示，因此C[a,b]C[a,b]C[a,b]是无限维线性空间，但它的任意元素f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)∈C[a,b]均可以用有限维

若(f(x),g(x))=∫abρ(x)f(x)g(x)dx=0(f(x),g(x))=\int_a^b\rho(x)f(x)g(x)dx=0(f(x),g(x))=∫ab​ρ(x)f(x)g(x)dx=0，则称fff与ggg在[a,b][a,b][a,b]上带权正交。若函数族{φ0(x),φ1(x),...,φn(x)}\{\varphi_0(x),\varphi_1(x),...,\varphi_n(x)\}{φ0​(x),φ1​(x),...,φn​(x)}两两带权正交，则称其为带权ρ(x)的\rh

文章目录范数内积范数引入范数的目的是：对线性空间中的元素大小进行衡量。范数描述的空间中元素的一种属性。范数是一个实数，空间SSS中的任意一个元素x\mathbf{x}x都对应着一个范数∣∣x∣∣\mathbf{||x||}∣∣x∣∣，满足：正定性：∣∣x∣∣≥0||x||\ge 0∣∣x∣∣≥0。当且仅当x=0x=0x=0时，∣∣x∣∣=0||x||= 0∣∣x∣∣=0齐次性：∣∣a⋅x∣∣=∣a∣⋅∣∣x∣∣||a\cdot x||=|a|\cdot ||x||∣∣a⋅x∣∣=∣a∣⋅∣∣x∣

x = [0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64]y = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]X = 0 : 0.01 : 64Y = spline(x, y, X); % 根据(x,y)求出 X处的样条值plot(X, Y) % 作出Y-X图像（插值函数）legend('P')% plot(x, y, X, Y) % 作出Y-X图像（插值函数）% legend('f', 'P')grid ontext(x, y,'o','color',

用dict存储xix_ixi​与f(xi)f(x_i)f(xi​)之间的函数关系：x = np.linspace(-1, 1, 11)y = 1 / (1 + 25 * (x ** 2))d = dict(zip(x, y)) # 由两个list创建一个dict根据公式求x0,x1,...,xnx_0, x_1, ..., x_nx0​,x1​,...,xn​的差商：f[x0,x1,...,xk]=∑j=0kf(xj)(xj−x0)(xj−x1)...(xj−xj−1)(xj−xj+1)...(x

分段低次插值函数光滑性较差，为解决这个问题提出了三次样条插值。三次样条插值的核心即：整个曲线由分段三次曲线组成，在连接点处要求二阶导数连续。已知插值节点a=x0<x1<...<xn=ba=x_0<x_1<...<x_n=ba=x0​<x1​<...<xn​=b，对于某一区间，设样条函数为：S(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3S(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3S(x)=a0​+a1​x+a2​x2+a3​x3。每段区间上的样

Runge现象Ln(x)L_n(x)Ln​(x)的次数越高不一定逼近f(x)f(x)f(x)的精度越好，因为对任意的插值节点，当n→∞n\rightarrow\infinn→∞时，Ln(x)L_n(x)Ln​(x)不一定收敛于f(x)f(x)f(x)。说明用插值次数太高，效果并不好，因此通常不用高次插值，而用分段低次插值。分段线性插值通过插值点用折线段连接起来逼近f(x)f(x)f(x)。令hk=xk+1−xk，h=max⁡khkh_k=x_{k+1}-x_k，h=\max\limits_{k}

当给出一些点和对应点处的函数值时，我们可以进行拉格朗日插值或牛顿插值。但通常已知的条件不只局限于函数值，还有可能知道导数值，如何利用xi,f(xi),f(k)(xi)x_i,f(x_i),f^{(k)}(x_i)xi​,f(xi​),f(k)(xi​)这些信息对原函数进行插值近似？—— 埃尔米特插值。埃尔米特插值是应用范围更加广的插值方法。文章目录泰勒插值多项式已知 y0,y1,y2y_0,y_1,y_2y0​,y1​,y2​ 和 y1′y_1'y1′​ （3函数值1导数值）已知 y0,y1,y0′y

拉格朗日插值的缺点：基函数由nnn个点共同决定，若点集的数目发生了改变，则基函数需要重新求，拉格朗日多项式也需要重新建立。能不能找到一种逐次生成插值多项式的方法？（若多给一个点，就在插值多项式上再加上一项）牛顿插值多项式插值多项式的逐次生成若已知原函数上的1个点，则0次插值：P0(x)=f(x0)P_0(x)=f(x_0)P0​(x)=f(x0​)若已知原函数上的2个点，则1次插值：P1(x)=f(x0)+f(x1)−f(x0)x1−x0(x−x0)P_1(x)=f(x_0)+\frac{f(x

有些函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，通常只有一个函数表，例如三角函数、对数函数等。有时需要用到不在函数表上的函数值，此时可以根据已有的函数表定义一个既能反映f(x)f(x)f(x)的特性，又便于计算的简单函数P(x)P(x)P(x)，并使P(xi)=f(xi),  i=0,1,...,n(0)P(x_i)=f(x_i), \ \ i=0, 1, ..., n\tag{0}P(xi​)=f(xi​),  i=0,1,...,n(0)这样就可以用P(x)P(x)P(

迭代法是一种按同一公式重复计算逐次逼近真值的算法。在计算机中的开方运算使用的就是迭代法。a>0a>0a>0，则求a\sqrt aa​等价于解方程x2=ax^2=ax2=a取该方程的解为x0x_0x0​，误差为Δx\Delta xΔx，则x0+Δxx_0+\Delta xx0​+Δx才是该方程的精确解，有：(x0+Δx)2=a⟺x02+2x0Δx+(Δx)2=a⟺x02+2x0Δx≈a        &nbs

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+...+anxnf(x) = a_0 + a_1x+a_2x^2 + a_3x^3+...+a_nx^nf(x)=a0​+a1​x+a2​x2+a3​x3+...+an​xn在计算该多项式的值时，若逐一计算每项x的幂，则花费时间较多。#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;int main(){ int n; cin >> n;

误差误差来源模型误差——数学模型与实际问题之间的误差观测误差——由观测（读数）造成的误差截断误差——近似解与精确解之间的误差例如：用泰勒多项式Pn(x)P_n(x)Pn​(x)近似代替可微函数f(x)f(x)f(x)：Pn(x)=f(0)+f′(0)1!x+f(2)(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xnP_n(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^nPn​(x)=f(0