【CF622F】自然数幂前缀和 + 拉格朗日插值法

最新推荐文章于 2019-12-01 22:45:06 发布

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#CF622F #The Sum Of the K-th Powers #拉格朗日插值法

博客介绍了如何利用拉格朗日插值法求解CF622F题目的自然数幂前缀和问题。通过观察不同k值时的规律，发现答案可以用k+1次多项式表示。通过计算k+2个点的值，应用拉格朗日插值公式可以得出这个多项式，从而得到最终答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意是求： $\sum_{i = 1}^ni^k = 1^k + 2^k + ... + n^k$ 对 $10^9 + 7$ 取模。

当 k = 1时，

当 k = 2时，

当 k = 3时，

我们可以发现所求答案为k+1次多项式。我们只需要计算出k+2个点，然后应用拉格朗日插值法就可以得到此多项式。

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 8;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll n, k, f[maxn], fac

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自然数幂和（拉格朗日差值法）

weixin_49652016的博客

08-11

440

自然数幂和给你一个KKK，现在有QQQ组询问，每一组询问给出一个NNN，求： ∑i=1nik\sum_{i=1}^ni^ki=1∑nik 由于答案太大，所以要对109+710^9+7109+7取模。其中：K≤100,Q≤105,1≤N≤109K\leq100,Q\leq10^5,1\leq N\leq10^9K≤100,Q≤105,1≤N≤109 看到题目的第一眼：好水呀，我用O(NQlog⁡K)O(NQ\log K)O(NQlogK)就能过了恭喜你，程序大概运行81天就可以运行完了……（记得开O

【拉格朗日插值法求自然数幂和】

Hi_jiaxinwei的博客

07-17

4131

求自然数幂和： 1 1 1.什么是拉格朗日插值法 拉格朗日插值法，就是对于给定的几个点找到关于这几个点的函数；以下是拉格朗日插值法的具体使用：对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点： {\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})} 其中{\displaystyle x_{j}}对应着

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自然数幂的前缀和的求法的一些总结

TimeTraveller-VictoryCzt

01-19

739

这类问题一般是如下形式：给定n,kn,kn,k，求： ∑i=1nik \sum_{i=1}^ni^k i=1∑nik 如果在模数为质数的情况下，可以用拉格朗日差值的方法，在O(klogk)O(klogk)O(klogk)的时间内算出来。如果有时不取模或者可以用浮点数，或者有其他用途时，可以用高斯消元在k3k^3k3的时间内处理，可以参考这道题。如果是NTTNTTNTT模数，或者可以用浮点...

自然数幂和

qq_17080419的博客

12-01

485

伯努利数 B0=1,B1=−12,B2=16,B3=0,B4=130B_0=1,B_1=\frac {−1}2,B_2=\frac 16,B_3=0,B_4=\frac 1{30}B0=1,B1=2−1,B2=61,B3=0,B4=301 公式：∑i=0nBiCn+1i=0\sum_{i=0}^nB_iC_{n+1}^i=0∑i=0nBiCn+1i=0，配合B0=1B_0=1...

【拉格朗日求自然数幂和】cf622F

Hi_jiaxinwei的博客

07-18

1173

F. The Sum of the k-th Powers time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output There are well-known formulas

人工智能/机器学习+拉格朗日插值法

02-17

拉格朗日插值法是数学中的一个经典概念，源于18世纪法国数学家和科学家萨缪尔·拉格朗日的工作。这种方法主要用于通过一系列已知数据点来构造一个多项式函数，使得这个函数在这些点上的值与原始数据完全匹配。在信息...

缺失值处理：拉格朗日插值法

12-21

在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面...

c代码-拉格朗日插值法

07-14

拉格朗日插值法是一种在离散数据点上构建多项式函数的方法，它通过构造一个特殊的多项式来近似给定数据集的函数。在C语言中实现拉格朗日插值法可以帮助我们处理一些数值计算问题，比如数据拟合、函数估算等。以下是...

拉格朗日插值法,拉格朗日插值法例题,Python

09-10

拉格朗日插值法是一种在数学和计算机科学中广泛使用的数值分析技术，主要用于通过已知的数据点构建一个多项式函数，以便对这些点之间的未知数据进行估算或预测。这种方法适用于处理离散数据，比如在实验数据不完整或...

拉格朗日插值法(求自然数幂和)

一位蒟蒻的小博客

10-06

2238

背景求∑ni=1ik\sum_{i=1}^{n} i^k，给定n 分析设g(x)=∑xi=1ikg(x)=\sum_{i=1}^{x} i^k。考虑k=1与k=2时的公式，不难得出每个g(x)实际上都是一个k+1次多项式。（这是猜想，具体证明看http://blog.youkuaiyun.com/jokerwyt/article/details/54141757，那个递推式就是k+1次的）那

【学习笔记】自然数幂和

weixin_30439131的博客

07-28

410

温馨提示: 本文文档大小约$11KB$. 引入 自然数幂和是一个我们从小就耳熟能详的经典问题。定义$S(n,k)=\sum^{n}_{i=0} i^k$, 显然$S(n,k)$为关于$n$的不超过$(k+1)$次多项式，那么给定$k$, 如何快速求出这个多项式的系数？或者给定$n$和$k$, 如何快速求出$S(n,k)$? 这就是本文的讨论内容。本文...

自然数幂和（拉格朗日插值法）

Cold_Chair的博客

10-06

1652

今天A组的第一题是这个 Σ(☉▽☉”a 题目： ∑ni=1ik\sum_{i=1}^n i^k 对一个大于i的质数取模。 1 解法：不懂拉格朗日插值法的戳这儿。

51nod 1258 序列求和（拉格朗日插值||ntt多项式求逆）求解自然数幂和问题

八百标兵奔北坡的博客

09-21

512

** 1258 序列求和 V4 ** 8.0 秒 131,072.0 KB 1280 分 9级题 T(n) = n^k，S(n) = T(1) + T(2) + … T(n)。给出n和k，求S(n)。例如k = 2，n = 5，S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。由于结果很大，输出S(n) Mod 1000000007的结果即可。输入第1行：一...

自然数幂和 拉格朗日插值法和第二类斯特林数法

Ark

03-18

223

传送门

CF622F——自然数幂和模板&&拉格朗日插值

dianshu1593的博客

09-20

357

题意求 $ \displaystyle \sum_{i=1}^ni^k \ mod (1e9+7), n \leq 10^9, k \leq 10^6$. CF622F 分析易知答案是一个 $k+1$ 次多项式，我们找 $k+2$ 个值代进去，然后拉格朗日插值。 $n+1$ 组点值对 $(x_i, y_i)$，得到 $n$ 次多项式 $f$ 的拉格朗日插值公式为： $$...

cf F. The Sum of the k-th Powers (拉格朗日插值法求自然数幂和）模板

Jiandong

04-25

488

题目链接：哆啦A梦传送门题意：求自然数幂和： (n<1e9，k<1e6)。题解：直接拉格朗日插值法就求出来了。设，我们要想用拉格朗日插值法，就首先要知道f(n)函数的最高次幂才行。这里我们用差分就很显然了。 f(n)-f(n-1)=n^k，很显然f(n)的最高次幂为k+1，为什么呢？ f '(n)=f(n)-f(n-1)=n^k，显然原函数最高次幂为k+1。 ...

[学习笔记]拉格朗日插值法求多项式系数

女装的你，如此好看！

07-27

7854

一、引入我们会遇到这样的问题：给定 nnn 个点 (xi,yi)(xi,yi)(x_i,y_i) ，求一个 n−1n−1n-1 次多项式函数 f(x)f(x)f(x) ，使对于每个 iii ，都有 f(xi)=yif(xi)=yif(x_i)=y_i 。其中 xixix_i 互不相同。利用线性代数的知识可以得出有且仅有一个 f(x)f(x)f(x) 满足条件。二、结论下...

Java实现牛顿与拉格朗日插值法的详细教程

标题“牛顿和拉格朗日插值法 java实现计算方法”涉及到两个重要的数学插值方法：牛顿插值法和拉格朗日插值法，并说明了这些算法将通过Java编程语言实现。在介绍具体的算法实现前，我们需要了解插值法的定义和应用...