12. 函数的连续

1.函数的连续简介

2.函数的连续性质

3.合成函数的连续

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1.函数的连续简介

1).直观理解

如果一个函数的图像你能一笔画成, 中间不用抬起笔, 那么这个函数就是连续的; 比如:

a.连续: 一条平滑的直线, 抛物线, 正弦曲线; 你画它们的时候, 笔尖不用离开纸面

b.不连续: 一个图形中间有"洞", 有"跳跃", 画到这些地方, 你必须将笔抬起来, 跳到另一个

地方再画

2).如果满足以下三个条件, 则称函数f(x)在点x = a处连续

a.函数在x = a处有定义

- f(a)是一个确定的数值

- f(x) = 1 / x在x = 0处没有定义, 所以它在x = 0处不连续

b.函数在x -> a时的极限存在

即limx→a f(x)存在并且是一个有限的数, 意味着从左边逼近a和从右边逼近a得到值必须相等

c.极限值等于函数值, limx→a f(x) = f(a)

函数f(x)在x = a处连续 <=> limx→a f(x) = f(a)

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3).连续函数

如果一个函数在某个区间上的每一个点都连续, 那么我们就说这个函数在该区间上是连续函数

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2.函数的连续性质

设函数f(x)和g(x)在点x处连续, 那么下列函数在x处也连续

a.和差: f(x) +- g(x)

b.乘积: f(x) * g(x)

c.商: f(x) / g(x), 前提是g(x)不等于0

d.数乘: c * f(x), 其中c是常数

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3.合成函数的连续

1).定理: 若函数g在点x = a处连续, 函数f在点u = g(a)处连续, 那么复合函数

f∘g(f(g(x)))在点x = a处也连续

2).求合成函数的连续区间

a.确定内层函数g(x)的连续区间, 记为A

b.确定外层函数f(u)的连续区间, 记为B

c.找出使得g(x)的值落在B内的x的集合, 即C = { x | g(x) ∈ B }

d.复合函数f(g(x))的连续区间就是A与C的交集