1.2 高斯消元法

1.高斯消元法简介

2.行阶梯形

3.三大合法操作

4.高斯消元法实战演练

5.判断方程组的解

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1.高斯消元法简介

高斯消元法用于解决线性方程组, 通过一系列"合法"的操作, 将一个复杂的方程组化简为一个非

常简单, 一眼就能看出解的方程组; 这个"非常简单"的形态叫做"行阶梯形"

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2.行阶梯形

如下是行阶梯形:

a.非零行在全零行上面

b.每一行的第一个非零数字(称为主元), 其位置总比上一行的主元更靠右

c.主元所在的列, 其他元素全是0

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3.三大合法操作

三种行初等变换(不会改变改变方程组的解)

a.交换: 交换两个方程的位置, 用于将重要的方程(主元不为零)换到上面来

b.倍乘: 用一个非零常数乘以某个方程, 用于将主元的系数化为1

c.倍加: 将一个方程的若干倍加到另一个方程上

通常情况下, 我们不直接写方程组, 而是把它写成增广矩阵的形式:

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4.高斯消元法实战演练

1).处理第一列(让第一列主元下方的元素全为0)

a.为了让计算简单, 我们希望主元是1; 可以将第一行乘以1/2或者直接使用倍加; 这里我们通

过行交换和倍加来消元

b.将第一行乘以3/2加到第二行: R2 = R2 + (3/2)R1

c.将第一行乘以1加到第三行 

2).处理第二列(以第二行第二列为主元，将其下方元素变为0)

a.为了让主元为1, 将第二行乘以2: R2 = 2 * R2

b.将第二行乘以-2加到第三行

3).回代求解

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5.判断方程组的解

a.若主元的数目等于未知数的个数, 则有唯一解

b.若主元的数目小于未知数的个数

  - 最后一行全是0, 则无穷解

  - 出现矛盾方程, 则无解