44、高斯消元法及其在FORTRAN中的实现

高斯消元法及其在FORTRAN中的实现

1 高斯消元法简介

高斯消元法（Gaussian Elimination）是一种经典的线性代数算法，广泛应用于求解线性方程组。它通过一系列的初等行变换，将线性方程组转化为上三角矩阵的形式，从而简化求解过程。本文将详细介绍高斯消元法的基本原理、步骤，并通过FORTRAN语言实现该算法。

1.1 什么是线性方程组？

线性方程组是由多个线性方程组成的系统，每个方程都涉及未知数的一次幂。例如，考虑以下线性方程组：

[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \
\vdots \
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{cases}
]

其中，(a_{ij}) 和 (b_i) 是已知常数，(x_j) 是未知数。

1.2 高斯消元法的作用

高斯消元法的目标是将上述线性方程组转化为上三角矩阵的形式，使得求解过程更加直观和简便。具体步骤包括前向消元和后向代入。

2 高斯消元法的步骤

高斯消元法分为两个主要阶段：前向消元和后向代入。

2.1 前向消元

前向消元的目的是通过一系列的行变换，将增广矩阵转换为上三角矩阵。具体步骤如下：

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