18、平面中的运动不变线过程及相关模型研究

平面中的运动不变线过程及相关模型研究

1. 平面中的运动不变线过程

1.1 构建

有一种特殊的平稳且各向同性的线过程 (Y⊂R^2)，它是平面中直线的无限并集：
(Y = \bigcup_{i∈Z} L_1^2(p_i, \phi_i))
具有以下性质：
1. 从原点 (0) 到各直线的有符号距离 ({p_i∈(-∞, ∞), i∈Z}) 构成轴上强度为 (N_L) 的独立点的平稳过程。
2. 对于每个 (p_i) 的实现，对应的方向角 (\phi_i) 是 ([0, π)) 内的独立均匀随机（UR）实现。这意味着：
- 过程 (Y) 以概率 (1) 不包含平行线。
- 在每个顶点处，相交直线的数量以概率 (1) 等于 (2)。
3. 过程 (Y) 是遍历的，即强度 (N_L) 对于 (Y) 的所有实现保持固定。

此外，还有以下性质：
- 若平稳点过程中的点 (p_i) 落在固定区间内，则该点在该区间内是均匀随机的。长度为 (H>0) 的固定区间内点 ({p_i}) 的平均数量等于 (N_LH)。
- 若运动不变平面线过程中的直线与固定域 (D⊂R^2) 相交，则该直线在与 (D) 相交时是独立均匀随机（IUR）的。
- 线过程可视为线段的可数并集，Mecke 关于运动不变曲线和曲面过程的结果可分别扩展到运动不变线和平面过程。

1.2 一阶性质

考虑面积 (A(T) > 0) 的固定探测域 (T⊂R^2)，根据相关公式可得：
(E(L(Y∩T)) = L_A · A(T))
其中 (L_A) 表示不变线