超几何分布和二项分布辨析

前言

二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．

概念辨析

• 超几何分布

一般的，在含有$M$件次品的$N$件产品中，任取$n$件，其中恰有$X$件次品，则事件 { X = k } \{X=k\} { X=k}发生的概率为$P(X=k)=\frac{C_M^k\cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$，($k=0，1，2，\cdots ，m$)，其中 m = m i n { M ， n } m=min\{M，n\} m=min{ M，n}，且$n\le N$，$M\le N$，$n$，$M$，$N\in N^{\ast }$，称这样的分布列为超几何分布列，如果随机变量$X$的分布列具有下表的形式，则称随机变量$X$服从超几何分布。

$X$	$0$	$1$	$2$	$\cdots$	$m$
$P$	$\frac{C_M^0{C}_{N-M}^{n-0}}{C_N^n}$	$\frac{C_M^1{C}_{N-M}^{n-1}}{C_N^n}$	$\frac{C_M^2{C}_{N-M}^{n-2}}{C_N^n}$	$\cdots$	$\frac{C_M^m{C}_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$

如果$X$服从参数为$n$，$M$，$N$的超几何分布，记作$X\sim H(n，M，N)$，其数学期望$E(X)=\frac{nM}{N}$。

• 二项分布

一般的，在$n$次独立重复试验中，设事件$A$发生的次数为$X$，每次试验中事件$A$发生的概率为$p$，则事件$A$恰好发生$k$次的概率为$P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$，($k=0，1，2，\cdots ，n$)，此时称随机变量$X$服从二项分布，记为$X\sim B(n，p)$，并称$p$为成功概率，称$1-p$为失败概率，当然成功和失败只是抽象的说法。

解释：二项展开式$[p+(1-p){]}^n=1^n=1$中，事件$A$发生$k$次，即对应展开式中的含$p^k$的项，其为$C_n^k\cdot p^k\cdot C_{n-k}^{n-k}\cdot (1-p{)}^{n-k}$，即$P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$，

若随机变量$X$服从二项分布，记为$X\sim B(n，p)$，则$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$；

案例剖析

袋中有