10、新型QEA算法：计算算术级数超图中的近最优低差异着色

新型QEA算法：计算算术级数超图中的近最优低差异着色

1. 引言

在组合数学领域，实验正逐渐成为一种重要工具。例如，在关于Paul Erdős提出的齐次算术级数这一极具挑战性的开放问题的Polymath项目中，就运用了实验方法。本文聚焦于解决困难差异问题的实验算法，以及分布估计算法（EDA）类别下的高度并行进化计算。

量子启发式进化算法（QEA）属于EDA的范畴，更确切地说是单变量EDA。EDA会在可能解的集合（如{0, 1}k）上维护一个概率分布（也称为模型）μ。对μ进行采样能得到具体的解，这些解可用于调整μ，以便下次采样到更优解。在单变量EDA中，采用的是简单类型的模型，即将k个坐标视为独立随机变量。因此，μ可以用向量Q = [Q1, …, Qk] ∈ [0, 1]k表示，其中Qi表示在第i个坐标采样到1的概率。

自90年代起，单变量EDA就开始被研究。2002年，“量子启发式”这一术语被提出，原因是Q1, …, Qk的行为类似于量子计算机中的k个量子比特，每个都处于0到1之间的状态，只有在观测时才以特定概率呈现0或1的状态。我们将文献[5]中的QEA称为标准QEA（sQEA），它使用一个吸引子，即到目前为止找到的最佳解，并且在每一代中，模型都会朝着吸引子进行调整。

不过，QEA存在过早收敛的问题，即每个Qi接近0或1这两个极端值，导致模型Q实际上锁定在一个特定解上，而此时还未找到足够好的解，并且算法没有办法摆脱这种困境。本文将展示新的QEA如何成功解决这一问题。

接下来，简要介绍算术级数超图和差异问题。给定a, d, ℓ ∈ N0 = {0, 1, 2, 3, …}，集合Aa,d,ℓ = {a + id; 0 ≤ i < ℓ}是