Fibonacci Sum（二次剩余，逆元，欧拉降幂，快速幂）

Fibonacci Sum

题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6755

思路

首先关于题目需要的知识点单独记录在了下面的博客
https://blog.youkuaiyun.com/xmyrzb/article/details/107526823

求出斐波那契数列的通项公式为$F_n=d(a^n-b^n)$，其中$d=\frac{1}{\sqrt{5}}$, $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，在这里可以提前算出这些值（用逆元和二次剩余计算）
关于sq5用二次剩余算出来是$383008016$，$inv$表示计算逆元
$a=691504013，b=308495997$，

	a=(1+sq5)*inv(2)%mod;
    b=(1-sq5+mod)%mod*inv(2)%mod;

可以算出通项公式为
$d^k{\sum }_{j=0}^k{C}_k^j\frac{x^{n+1}-1}{x-1},x=(a^j{b}^{k-j}{)}^C$
然后需要求幂的都使用欧拉降幂，指数对1e9+8取模

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
const ll sqrt5=383008016;
const ll A=691504013,B=308495997;
const ll P=1e9+9;
ll fac[maxn],finv[maxn];
ll fp(ll b,ll p){               //快速幂
    ll ans=1;
    while(p){
        if(p&1){
            ans=ans*b%P;
        }
        p>>=1;
        b=b*b%P;
    }
    return ans;
}
void init(int n){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)	fac[i]=fac[i-1]*i%P;	        //计算阶乘
    finv[n]=fp(fac[n],P-2);                                 //计算阶乘的逆元
    for(int i=n-1;i>=0;i--)		finv[i]=finv[i+1]*(i+1)%P;
    // finv[1] = 1;                                         //计算阶乘逆元的第二种方法
    // for( int i = 2; i <=n; i++ )    finv[i] = ( P - P / i ) * finv[ P % i ] % P;
    // finv[0]=1; 
    // for(int i=1;i<=n;i++)    finv[i]=finv[i]*finv[i-1]%P;
}
ll C(ll n,ll m){                            //计算系数C(k,i)
    if(m<0 || m>n) return 0;
    return fac[n]*finv[n-m]%P*finv[m]%P;    //  !n/!(n-m) / !m
}
ll solve(ll n,ll c,ll k){
    ll A_C=fp(A,c%(P-1));					//用欧拉降幂公式和快速幂求解A^C, B^C
    ll B_C=fp(B,c%(P-1));
    ll inv_B_C=fp(B_C,P-2);					//求B^C的逆元（使用费马小定律，快速幂
    ll base=fp(B_C,k);                      //求得初始时的x，x为A^0 * B^k
    ll multi=A_C*inv_B_C%P;                 //求得每次循环时x变化的量
    ll ans=0;                               //最终值
    for(ll i=0;i<=k;i++){
        ll temp;
        //首先计算(x^n-1)/(x-1)
        if(base==1){                        //特判一下x的值，若为1则值为n，为1的时候分母会为0
            temp=n%P;
        }
        else{                               //求(x^n-1)/(x-1)，欧拉降幂求x^n,费马小定律求（x-1）的逆元
            temp=base*(fp(base,n%(P-1))-1+P)%P*fp(base-1,P-2)%P;
        }
        //将系数C（k，j）乘上
        ll temp2=C(k,i)*temp%P;
        //判断正负性
        if((k-i)&1){
            ans-=temp2;
            ans=(ans+P)%P;  //保证值在P之内
        }
        else{
            ans+=temp2;
            ans=(ans+P)%P;
        }
        //将值乘上每次循环的变量，得到下一次的x
        base=base*multi%P;
    }
    ll inv_sqrt5=fp(sqrt5,P-2);             //求根号5的逆元
    ans=ans*fp(inv_sqrt5,k)%P;              //将根号5分之一的k次方乘上去
    return ans;
}
int main () {
    init(1e5);      //提前对阶乘和阶乘逆元打表
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ll n,c,k;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&c,&k);
        ll ans=solve(n,c,k);
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

代码取自：

作者： UCPRER
出处：https://www.cnblogs.com/ucprer/p/13361712.html