Codeforces 914G Sum the Fibonacci

最新推荐文章于 2022-08-17 17:50:22 发布

dasinlsb

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分类专栏： BZOJ 文章标签： codeforces

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本文介绍了解决一个复杂组合数学问题的方法，利用子集卷积与快速沃尔特变换（FWT）来简化计算过程。通过具体的步骤分解，展示了如何通过预处理和高效的算法实现对大规模数据的有效处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出长度为 $n$ 的数组 $s_i$ ，对于所有满足下列限制的五元组 $(a,b,c,d,e)$
1. $1 \leq a, b, c, d, e \leq n$
2. $(s_a | s_b)$ & $s_c$ & $(s_d$ ^ $s_e) = 2^i$ for some integer i
3. $s_a$ & $s_b = 0$
求 $\sum_{}fib(sa|sb) * fib(sc) * fib(sd$ ^ $se)$ 。 $fib_i$ 是斐波那契数列的第 $i$ 项。

$1\leq n\leq 10^6,0\leq s_i<2^{17}$

分析

这题要用到子集卷积和FWT，都完美触及到我的知识盲区，在网上查了点资料，打算写篇博客记录一下。

首先注意到 $\max(n)>\max(s_i)$ ，所以可以考虑用 $a_x$ 表示有 $a_x$ 个 $s_i$ 等于 $x$ 。
那么原问题大概可以通过以下步骤解决：
1.求 $A$ 数组使得 $A_i=fib_i*\sum_{j}\sum_{k}[j|k==i$ && $j\cap k==\varnothing]*a_j*a_k$
2.求 $B$ 数组使得 $B_i=fib_i*a_i$
3.求 $C$ 数组使得 $C_i=fib_i*\sum_{j}\sum_{k}[j$ ^ $k==i]*a_j*a_k$
4.求 $D$ 数组使得 $D_i=\sum_{j}\sum_{k}[j$ & $k==i]*A_j*B_k$
5.求 $E$ 数组使得 $E_i=\sum_{j}\sum_{k}[j$ & $k==i]*D_j*C_k$

1是子集卷积，345都可以 $FWT$ 搞搞。

子集卷积直接做有一种 $O(3^n)$ 的做法，于是去学习了一下 $O(n^2*2^n)$ 的姿势。不过网上貌似没有很多~~我看的懂的~~资料。查了很久查到了讲集合并卷积的东西。。仔细想了一下可能做法差不多。。？

集合并卷积是求 $f_i=\sum_{j}\sum_{k}[j|k==i]*a_j*a_k$ ，也就是两个子集交集可以不为空。
考虑这样一个二维上的问题：求 $f_i=\sum_{\max(r_1,c_1)==i}\sum_{\max(r_2,c_2)==i}a_{r_1,c_1}*a_{r_2,c_2}$
有一种做法是求一次二维前缀和后，将前缀和自己做一次点积，然后沿着对角线做差分就是答案。
对应到求集合并卷积可能也是差不多的道理~~(强行意念差不多)~~。做一次高维前缀和之后点积一下然后高维差分就是答案。

子集卷积实际上就是把集合大小相同的集合都放在了一起，每种集合大小都各自跑集合并卷积，点积的时候把不同集合大小的卷起来就行。。

$FWT$ 的证明 $YY$ 了好久。。~~最后 $xjb$ 想了一下假装自己会了。。~~

for(int d=1;d<n;d<<=1)for(i=0;i<n;i+=d*2)for(j=0;j<d;++j){
    //x=a[i+j],y=a[i+j+d]
    //正变换
    //and a[i+j]=x+y
    //or a[i+j+d]=x+y
    //xor a[i+j]=x+y,a[i+j+d]=x-y
    //逆变换
    //and a[i+j]=x-y
    //or a[i+j+d]=y-x
    //xor a[i+j]=(x+y)/2,a[i+j+d]=(x-y)/2
}

对于 $and$ ，考虑新增的位， $f_0$ 和 $f_1$ 都被加到 $f'_0$ 上，也就是 $f'_0=f_0+f_1,f'_1=f_1$ ，点积之后就是
$h_0=f'_0*g'_0=(f_0+f_1)*(g_0+g_1)=f_0*g_0+f_0*g_1+f_1*g_0+f_1*g_1$
$h_1=f'_1*g'_1=f_1*g_1$
显然 $h_0$ 多了一项 $f_1*g_1$ ，因为 $1$ & $1==1$ ，而这一项恰好等于 $h_1$ ，在逆变换中减去即可。将每一位多出的答案依次减掉之后最后就是所求。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1<<17;
const int MOD=1000*1000*1000+7;
int n,inv2,a[N],fib[N],bits[N],b[18][N],c[18][N],A[N],B[N],C[N];
inline void read(int&x){char c;while((c=getchar())<'0'||c>'9');x=c-'0';while((c=getchar())>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0';}
inline void add(int&x,int y){x=x+y<MOD?x+y:x+y-MOD;}
inline int he(int x,int y){return x+y<MOD?x+y:x+y-MOD;}
int Pow(int x,int y){int t=1;for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%MOD)if(y&1)t=1LL*t*x%MOD;return t;}
int main(){
    int i,j,d,S;
    read(n);
    inv2=Pow(2,MOD-2);
    for(i=1;i<=n;++i)read(j),++a[j];
    for(fib[1]=1,i=2;i<N;++i)fib[i]=he(fib[i-1],fib[i-2]);
    for(i=1;i<N;++i)bits[i]=bits[i>>1]+(i&1);
    for(i=0;i<N;++i)b[bits[i]][i]=a[i];
    for(i=0;i<18;++i){
        for(j=0;j<17;++j)
            for(S=0;S<N;++S)if(1<<j&S){
                add(b[i][S],b[i][S^(1<<j)]);
            }
    }
    for(i=0;i<18;++i){
        for(j=0;j<=i;++j){
            for(S=0;S<N;++S){
                add(c[i][S],1LL*b[j][S]*b[i-j][S]%MOD);
            }
        }
    }
    for(i=0;i<18;++i){
        for(j=0;j<17;++j){
            for(S=1;S<N;++S)if(1<<j&S){
                add(c[i][S],MOD-c[i][S^(1<<j)]);
            }
        }
    }
    for(i=0;i<N;++i)A[i]=1LL*c[bits[i]][i]*fib[i]%MOD;
    for(i=0;i<N;++i)B[i]=1LL*a[i]*fib[i]%MOD,C[i]=a[i];
    for(d=1;d<N;d<<=1){
        for(i=0;i<N;i+=(d<<1)){
            for(j=0;j<d;++j){
                add(A[i+j],A[i+j+d]); 
                add(B[i+j],B[i+j+d]);
                int x=C[i+j],y=C[i+j+d];
                C[i+j]=he(x,y);
                C[i+j+d]=he(x,MOD-y);
            }
        }
    }
    for(i=0;i<N;++i)A[i]=1LL*A[i]*B[i]%MOD,C[i]=1LL*C[i]*C[i]%MOD;
    for(d=1;d<N;d<<=1){
        for(i=0;i<N;i+=(d<<1)){
            for(j=0;j<d;++j){
                add(A[i+j],MOD-A[i+j+d]);
                int x=C[i+j],y=C[i+j+d];
                C[i+j]=1LL*(x+y)*inv2%MOD;
                C[i+j+d]=1LL*(x-y+MOD)*inv2%MOD;
            }
        }
    }
    for(i=0;i<N;++i)C[i]=1LL*C[i]*fib[i]%MOD;
    for(d=1;d<N;d<<=1){
        for(i=0;i<N;i+=(d<<1)){
            for(j=0;j<d;++j){
                add(A[i+j],A[i+j+d]);
                add(C[i+j],C[i+j+d]);
            }
        }
    }
    for(i=0;i<N;++i)A[i]=1LL*A[i]*C[i]%MOD;
    for(d=1;d<N;d<<=1){
        for(i=0;i<N;i+=(d<<1)){
            for(j=0;j<d;++j){
                add(A[i+j],MOD-A[i+j+d]);
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(i=0;i<17;++i)add(ans,A[1<<i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}