微分的积公式推导

因为学习图形学的时候，好多次涉及到、谈论到要使用线性代数和微积分的知识，所以怀着要学就学好的精神将他们都学习一遍，至少都了解清楚一些，更利于后面图形学的学习，在看到微分的积推导公式时，觉得讲的有些牵强，当然有可能是我理解的不够透彻，预示自己研究和网上查找资料进行推导，发现都不尽人意，预示在最后自己的坚持下，根据自己的方式推导出来了比较合理的解释。
我是通过技术群被推荐在欧姆社学习漫画中看的微积分，当然后面也要结合课本进行巩固，在漫画中降到微分的积推导公式时，那个直接提取(x-a)这一步让人不明所以，先看漫画讲解：

对于{f′(a)(x-a)+f(a)}{g′(a)(x-a)+g(a)}直接提取公因式(x-a)后直接变成{f′(a)g(a)+f(a)g′(a)}(x-a)有些不明所以，按照正常来说{f′(a)(x-a)+f(a)}{g′(a)(x-a)+g(a)}从两个大括号中直接提取(x-a)后会变成更麻烦的式子：(x-a)²{f′(a)+f(a)/(x-a)}{g′(a)+g(a)/(x-a)}，这样的式子怎么能够直接变成{f′(a)g(a)+f(a)g′(a)}(x-a)呢？

针对上述问题搜索了一些网页和网址，发现没有一个让我满意的答案，也有同学在网上进行了同样的疑问，最后我这边自己进行了推导（根据多项式乘法公式展开）：
{f′(a)(x-a)+f(a)}{g′(a)(x-a)+g(a)}
=f′(a)g′(a)(x-a)²+f′(a)g(a)(x-a)+g′(a)f(a)(x-a)+f(a)g(a)
={f′(a)g(a)+g′(a)f(a)}(x-a)+f′(a)g′(a)(x-a)²+f(a)g(a)
到了这里就有个疑问了，这个多出来二次项该怎么办？去掉之后才是我们想要的K(x-a)+L的形式。
这时候想到本来就有，f′(x)={f(x)-f(a)}/(x-a)，将其带入f′(a)g′(a)(x-a)²部分的式子中，就刚好消除了(x-a)²
于是得到：
{f′(a)g(a)+g′(a)f(a)}(x-a)+{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}+f(a)g(a)
可以将{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}+f(a)g(a)整体当做K(x-a)+L表达式中的L；
也可以根据x无限趋近于a，f(x)也就无限趋近f(a)的原因，将{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}当做是被各自消除了，于是只剩下了{f′(a)g(a)+g′(a)f(a)}(x-a)+f(a)g(a)这样我们想要的形式，也就证明了K=f′(a)g(a)+g′(a)f(a);
即当h(x)=f(x)g(x),f(x)和g(x)都可导时，h′(x)=f′(a)g(a)+g′(a)f(a)