BSM formula 的推导(解随机微分方程)
一:前期推导(SDE)
二:引入期权与分布
这里引入期权的概念,在到期日,认购期权方可以选择是否行权,也就是是否选择交割标的。交割标的和现金交割的价值是一样的,都是到期日标的价格和行权价之间的区别。以看涨期权为例,如果标的价格高于行权价,那么认购方肯定选择交割,收益是S-K,但如果标的价格低于行权价,则不选择交割,收益是0。由于公平交易,到期日的收益和期权的价格是一样的,那么看涨期权到期日的价格可以表示为:
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/c0897d9379f6ff907bfaa0f19ade988d.png)
在不解方程的情况下,期权的定价模型可以理解成未来payoff的期望值(基于给定的信息):
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/ded1cb60e0a25fbd08bd2f5ec7862496.png)
严谨一点,这里S有T的下标,表示到期日的价格,并且期望值是对过去已知信息计算的期望。在Black-Scholes定价模型中,给不给定过去的信息不重要(唯一重要的就是S,还有就是已知的σ和μ),因为S背后的过程是Martingale(未来的期望值实际上就等于现在的payoff)(c背后的过程也是Martingale,这个不重要,重要的是定价)。
如果要得出定价模型,就必须要知道分布(以及可不可积(一般都是可积的,因为期权价格都是有限的,这才符合经济规律))。而价格服从对数正态分布,具体如下:
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/cabfe0a86793642b41b19bc25d91eb28.png)
问题是,为什么价格必须服从这个分布?可以理解序列的方差随着时间增大而增大。但这个分布的"无风险利润"非常反直觉,无风险利润不是r吗?为什么多出来一个方差项?
这是由于对数正态分布的原因:
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/72833bae70acfa921da2f40e16619450.png)
方差项是琴生不等式的调整项。
上述对数正态分布的概率分布函数是:
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/9bdbe500116e9dbb1ce471faab08d7f2.png)
因此:
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/c829a6d445e00576486a022420f3f0e6.png)
可以拆成两部分来计算,一部分是I1,就是xdF(x)(标的期望)部分。另一部分是I2,也就是KdF(x)(行权价期望)部分。第二部分比较简单,使用代入法:
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/ead6912a5e7ca5a70824309d7b78b3a8.png)
即可得出:
![[公式][公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/822e518e293ee80d347182c824617fae.png)

Φ是正态累积分布函数。第一部分的话,使用的代入公式是:
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/ba8b43ab22258ef9aeee8bd80477ab0a.png)
这是由于积分里面多了个x,刚好和分母的x消掉:
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/173580146539cbf5eb03294be49f2489.png)
但使用代入法时多出来一个x。
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/6c23ea242de5088bb69db58332eba85a.png)
如果使用u带入,则这个x是无法消除的。但使用v的话,一通操作下来,将会变成:
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/b456da8622133aea4034f0607cb72249.png)
这么下来,x刚好抵消掉,得:
![[公式][公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/6b6b841a36142f43e7893f86801743a6.png)

因此:
![[公式]](https://i-blog.csdnimg.cn/blog_migrate/cc3c2b170d1467d676b6c6c14098d053.png)
即得到Black Scholes Merton期权定价模型。
本文深入探讨了Black-Scholes-Merton(BSM)公式在金融量化分析中的应用,详细推导了解随机微分方程的过程。通过分析期权的概念和到期日收益,解释了为何价格服从对数正态分布,并讨论了分布中的方差项与无风险利润的关系。最终得出BSM期权定价模型,展示了如何计算期权价格。
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