【金融量化分析】#BSM formula 的推导（解随机微分方程）

BSM formula 的推导（解随机微分方程）

一：前期推导（SDE）

二：引入期权与分布

这里引入期权的概念，在到期日，认购期权方可以选择是否行权，也就是是否选择交割标的。交割标的和现金交割的价值是一样的，都是到期日标的价格和行权价之间的区别。以看涨期权为例，如果标的价格高于行权价，那么认购方肯定选择交割，收益是S-K，但如果标的价格低于行权价，则不选择交割，收益是0。由于公平交易，到期日的收益和期权的价格是一样的，那么看涨期权到期日的价格可以表示为：

在不解方程的情况下，期权的定价模型可以理解成未来payoff的期望值（基于给定的信息）：

严谨一点，这里S有T的下标，表示到期日的价格，并且期望值是对过去已知信息计算的期望。在Black-Scholes定价模型中，给不给定过去的信息不重要（唯一重要的就是S，还有就是已知的σ和μ），因为S背后的过程是Martingale（未来的期望值实际上就等于现在的payoff）（c背后的过程也是Martingale，这个不重要，重要的是定价）。

如果要得出定价模型，就必须要知道分布（以及可不可积（一般都是可积的，因为期权价格都是有限的，这才符合经济规律））。而价格服从对数正态分布，具体如下：

问题是，为什么价格必须服从这个分布？可以理解序列的方差随着时间增大而增大。但这个分布的"无风险利润"非常反直觉，无风险利润不是r吗？为什么多出来一个方差项？

这是由于对数正态分布的原因：

方差项是琴生不等式的调整项。

上述对数正态分布的概率分布函数是：

因此：

可以拆成两部分来计算，一部分是I1，就是xdF(x)（标的期望）部分。另一部分是I2，也就是KdF(x)（行权价期望）部分。第二部分比较简单，使用代入法：

即可得出：

Φ是正态累积分布函数。第一部分的话，使用的代入公式是：

这是由于积分里面多了个x，刚好和分母的x消掉：

但使用代入法时多出来一个x。

如果使用u带入，则这个x是无法消除的。但使用v的话，一通操作下来，将会变成：

这么下来，x刚好抵消掉，得：

因此：

即得到Black Scholes Merton期权定价模型。