【金融量化分析】#BSM formula 的推导（解随机微分方程）

最新推荐文章于 2024-11-06 14:42:23 发布

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#概率论 #算法 #机器学习

本文深入探讨了Black-Scholes-Merton(BSM)公式在金融量化分析中的应用，详细推导了解随机微分方程的过程。通过分析期权的概念和到期日收益，解释了为何价格服从对数正态分布，并讨论了分布中的方差项与无风险利润的关系。最终得出BSM期权定价模型，展示了如何计算期权价格。

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BSM formula 的推导（解随机微分方程）

一：前期推导（SDE）

二：引入期权与分布

这里引入期权的概念，在到期日，认购期权方可以选择是否行权，也就是是否选择交割标的。交割标的和现金交割的价值是一样的，都是到期日标的价格和行权价之间的区别。以看涨期权为例，如果标的价格高于行权价，那么认购方肯定选择交割，收益是S-K，但如果标的价格低于行权价，则不选择交割，收益是0。由于公平交易，到期日的收益和期权的价格是一样的，那么看涨期权到期日的价格可以表示为：

[公式]

在不解方程的情况下，期权的定价模型可以理解成未来payoff的期望值（基于给定的信息）：

[公式]

严谨一点，这里S有T的下标，表示到期日的价格，并且期望值是对过去已知信息计算的期望。在Black-Scholes定价模型中，给不给定过去的信息不重要（唯一重要的就是S，还有就是已知的σ和μ），因为S背后的过程是Martingale（未来的期望值实际上就等于现在的payoff）（c背后的过程也是Martingale，这个不重要，重要的是定价）。

如果要得出定价模型，就必须要知道分布（以及可不可积（一般都是可积的，因为期权价格都是有限的，这才符合经济规律））。而价格服从对数正态分布，具体如下：

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