关于微分的几何形象推导，就算没学过你也能看懂

关于微分的几何形象推导，就算没学过你也能看懂

 

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最后的弦

18-10-0515:26

很久没更了，咱们今天不讲物理讲数学

微积分是函数的重要内容，微积分学不好的同学大多数都是在微分上受挫，只要你学好了微分，那么积分便不在话下。我个人认为微分比积分更难形象化，微分在理解上并不是很容易。因为把积分看做是加法的话，那么微分就是除法，因为是比值问题，所以较难理解。虽然不易于理解，但在捕捉其变化时却是非常有用的神兵利器。

看完这篇文章我相信你能对微分有个大概了解，即便是你刚接触函数。有疑问欢迎提出来

不废话，进入正题

y=f（x）的微分是，y的微小变动（△y）与x的微小变动（△x）的比值（△y/△x）即：

微分基本表达式

三角形△读作：德尔塔

下图是一个边长为x的正方形

现在我们同时将两边的边长增加△x，那么正方形的面积会增加多少呢？

增加△X后的总面积

由图可知

原来面积为：x^2

增加面积为：2x·△x+(△x)^2

总的面积为:x^2+2x·△x+(△x)^2

分解过程

此时从图中可以看出(△x)^2的这部分相对于两个长方形来说值特别小，假如增加的△x越来越小的话那么(△x)^2比△x小了一个数量级，基本上可以忽略不计，我们可以扔掉这一部分，忽略这一部分的增长。

过于小的(△x)^2，我们把它扔进垃圾桶--O(∩_∩)O哈哈~

被忽略的(△x)^2扔进了垃圾桶

但两个长方形却不能忽略掉，关键就在这里，和△x相比是大还是小

所以微分的核心思想就是：准确区分可以忽略的部分与不能忽略的部分。丢弃可以忽略的部分，只留下不能忽略的部分，再求出“不能忽略的部分是是△x的多少倍”，这就是微分！

阴影部分的值就是微分

忽略掉△X的平方

所以y=x^2的微分即2x，这和导数公式x^n=nx^(n-1)得到的一样的结果

 

同理，我们来算一下y=x^3的微分。因为平面图形的例子使用的是面积，那么立体图形的例子使用的就是体积，我们看看立方体体积是如何增加的。

现在使立方体棱长增加△x，由图可知：

把立方体分为4部分

A：底面边长为x的正方形，厚度为△x的木板有三个，体积为x^2·△x

B：底面边长为△x的正方形，高为x的长方体有三个，体积为x·(△x)^2

C：棱长为△x的立方体有一个，体积为（△x）^3

其中较大的是体积为x^2·△x的A部分，B和C和△x相比非常小，我们忽略此部分

阴影部分便是我们得出的微分

除去忽略部分最后增加的体积大概为3x^△x。用3x^△x除以△x，得出（x^3）'=3x^2

因此，当△x无限趋向于0时△y/△x的值可表示为：

lim△X→0的意思是无限接近于0

dy/dx叫做极限值读作dydx

上图中3x·△x+(△x)^2这一部分趋向于0，只留下3x^2，这部分就是X^3的微分

也就是说下图式子成立：

x^3的微分即3x^2