图傅里叶变换的推导和理解

已于 2023-02-19 12:10:46 修改
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分类专栏： 脑网络的图论分析 文章标签： 人工智能 算法
于 2023-02-11 16:15:48 首次发布
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/xj4math/article/details/128984981
这篇博客介绍了如何将传统的傅里叶变换和卷积扩展到图信号处理中，核心是利用拉普拉斯矩阵的特征向量。文章详细阐述了图傅里叶变换的矩阵形式及其与拉普拉斯算子的关系，以及图的傅立叶逆变换的矩阵表示。通过这些变换，可以将图上的信号表示为拉普拉斯矩阵特征向量的线性组合，从而进行分析。

在这里插入图片描述

把传统的傅里叶变换以及卷积迁移到Graph上来，核心工作其实就是把拉普拉斯算子的特征函数
e−iωte^{-i\omega t}e−

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傅里叶变换的推导与理解
bug_code702的博客
09-20 1103
傅里叶变换通过积分运算将非周期函数转换为频域函数，并且具有逆变换可以将频域函数重新转换为时域函数。假设我们有一个正弦函数f(t)，其频率为50Hz，振幅为1，相位为0。傅里叶变换将一个时域函数转换为一个频域函数，它描述了不同频率成分在原始函数中的贡献。它可以将时域函数转换为频域函数，帮助我们理解信号的频率成分和它们在原始函数中的贡献。其中，a₀、aₙ和bₙ是函数f(t)的系数，n表示正弦和余弦函数的谐波次数，f为基频率。其中，F(ω)表示频域函数，f(t)表示时域函数，ω表示频率，e为自然对数的底。
傅里叶变换公式推导
weixin_46713695的博客
04-27 479
傅里叶变换公式推导
离散傅里叶变换DFT推导及理解
粉色挖掘机的博客
05-26 1343
本文阐述了从离散时间傅里叶变换(DTFT)到离散傅里叶变换(DFT)的推导过程。DTFT得到的频谱是频率的连续函数，而DFT通过离散化频率变量和有限长信号处理，将其转化为可计算的离散形式。推导表明：当频率采样数N等于信号长度L时，即得到DFT公式。文章对比了两者的关键区别：DTFT适用于无限长信号的理论分析，具有连续频域特性；DFT则针对有限长信号，通过频域采样实现数值计算，更适合工程应用。特别指出DFT本质是DTFT在ω=2πk/N频率点的采样结果。
从傅里叶级数到傅里叶变换的推导与理解
进一步有进一步的欢喜~
02-05 1650
傅里叶级数和傅里叶变换是信号处理、数学、物理等多个领域中的重要工具。本文从傅里叶级数的基本概念出发，详细阐述了其定义、推导过程以及物理意义。在此基础上，通过将周期信号推广到非周期信号，逐步引入频谱函数的概念，并利用极限和积分的思想，推导出了傅里叶变换。旨在帮助读者深入理解这两个重要概念之间的联系与区别，以及它们在实际应用中的重要性。
傅里叶变换详细推导
weixin_44044784的博客
11-28 4056
傅里叶变换详细推导
傅里叶变换的推导
万无引力的博客
12-29 9855
首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19 世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768 年，死于1830 年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，...
傅里叶变换一步步详细推导
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wd18508423052的博客
09-17 5万+
前言 在大学的时候接触过几次傅里叶变换的知识,但是从来没真正懂过.也在网上找过很多资料,看过很多视频,但是,这些内容要么举些简单的例子说说直观上的理解,要么就是直接堆出公式没有任何推导. 直到一个巧合在B站上看到这样一个视频才真正搞懂,非常感谢这位UP主DR_CAN.这篇博客也主要是对视频中的推导模仿一遍.同时记录下笔记方便复习. 另外,记录当时一条印象很深的弹幕: 根本就没有人会学不懂数学,只是...
傅里叶变换推导
大AI时代，人性化的信息更加难得可贵
06-04 917
定义 \[F(\omega)=F(f(t))=\int_{}^{}f(t)*e^{-j\omega t}dt \]常用信号的傅里叶变换对 \(F(A*cos(\omega_0 t))=\pi A[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\) \(F(A*sin(\omega_0 t))=-j\pi A[\delta(\omega-\ome...
离散时间傅里叶变换（理解推导）
weixin_44372476的博客
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离散时间傅里叶变换（DTFT） Tips: 此贴适合有一定傅里叶变换和傅里叶级数基础的人观看。意在帮助 讲解了从连续时间傅里叶变换（就是我们正常所用到的傅里叶变换）到离散时间傅里叶变换的简单推导 在学习离散傅里叶变换之前，首先我们要了解傅里叶级数（Fourier Series）和傅里叶变换 （Fourier Transform） x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}{\infty}{C_{k }e{jnwt}} \ C_k=\frac{1}{T_0}\int_{\frac{{-T
（二）傅里叶变换：傅里叶/离散傅里叶变换DFT推导及FFT降噪matlab仿真
weixin_72257134的博客
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本篇涉及从傅里叶级数到傅里叶变换的推导，离散傅里叶变换（DFT）推导，快速傅里叶变换（FFT）在matlab中对于降噪场景的仿真。
傅里叶变换公式超详细推导(读这一篇就够了).docx
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傅里叶级数公式推导是理解傅里叶变换的关键。 一、傅里叶级数的定义 傅里叶级数是将周期信号分解成多个频率不同的正弦函数的叠加。它可以表示为： f(x) = a0 + ∑[an cos(nωx) + bn sin(nωx)] 其中，a0是直流...
基于学习的人工智能（1）为什么学习？
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（116页PPT）关于5G和新基建赋能智慧工地整体解决方案（附下载方式）
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RAG 的诞生：为了让 AI 不再“乱编”
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【LoRA（低秩适应）技术详解：原理、公式与实践】
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强化学习人形机器人奖励函数分析
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11-23 1056
PPO (Proximal Policy Optimization) 是一种 Actor-Critic 架构算法。奖励函数是整个学习过程的指挥棒。学习预测未来的累积回报（Return）。用于处理物理限制的软约束，形式通常为单边损失（Hinge Loss）。，作为 Cost/Penalty 使用，用于约束能量和保持稳定。以下是代码中各个奖励项的数学表达及其物理含义分析。形式，旨在最大化机器人对指令的跟随精度。这种设计是现代机器人控制领域的标准范式。形式，在总奖励计算中通常会被赋予。
拉普拉斯变换推导和含义
07-26
<think>我们首先需要理解用户的问题：用户希望了解拉普拉斯变换的数学推导过程及其在工程中的物理意义。虽然用户提供了两个引用，但根据系统指令，我们需要主要参考用户上一次的问题和回答。然而，用户上一次的问题是关于电力系统SFR模型推导，而当前问题转向了拉普拉斯变换的数学推导和物理意义。因此，我们将独立回答当前问题，并适当参考提供的引用内容。 拉普拉斯变换是一种积分变换，用于将时间域的函数转换为复频率域的函数。它在工程中广泛应用于线性时不变系统的分析，特别是在电路分析、控制系统和信号处理中。 一、数学推导 拉普拉斯变换的定义：对于一个在$t \geq 0$时定义的函数$f(t)$，其拉普拉斯变换$F(s)$定义为： $$ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt $$ 其中$s$是一个复数，$s = \sigma + j\omega$，$\sigma$和$\omega$为实数，$j$是虚数单位。 推导过程通常从傅里叶变换出发。傅里叶变换要求函数绝对可积，但许多工程函数（如阶跃函数）不满足此条件。为了处理更一般的函数，我们引入一个衰减因子$e^{-\sigma t}$（$\sigma>0$），使得函数$f(t)e^{-\sigma t}$绝对可积，然后进行傅里叶变换： $$ \mathcal{F}\{f(t)e^{-\sigma t}\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t} dt $$ 由于我们通常考虑$t \geq 0$的函数，所以积分下限取0。这样，令$s=\sigma+j\omega$，就得到拉普拉斯变换： $$ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt $$ 二、物理意义 在工程中，拉普拉斯变换将时间域中的微分方程转换为复频率域中的代数方程，从而简化了系统的分析和求解。具体来说： 1. 它将复杂的微分运算转化为乘法运算。例如，对时间导数的变换满足： $$ \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) $$ 这样，微分方程就变成了关于$s$的代数方程。 2. 它提供了系统的传递函数概念。传递函数是系统输出与输入的拉普拉斯变换之比，它描述了系统的动态特性，包括频率响应和稳定性。 3. 在电路分析中，拉普拉斯变换将电阻、电容、电感的时域关系（微分或积分）转换为复频域的代数关系（阻抗或导纳），从而可以直接应用电路定律（如基尔霍夫定律）在复频域中求解。 三、与傅里叶变换的关系 拉普拉斯变换可以视为傅里叶变换的推广。当$\sigma=0$时，拉普拉斯变换就变成了傅里叶变换（如果存在）。因此，拉普拉斯变换的收敛域（ROC）非常重要，它决定了变换在哪些$s$值上存在。 四、逆变换 拉普拉斯逆变换通常通过部分分式展开和查表进行，其数学定义为复变函数的积分（反演积分）： $$ f(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s) e^{st} ds $$ 但在工程应用中，我们通常避免直接计算这个积分，而是利用变换表和性质。 五、在控制系统中的应用 在控制系统中，拉普拉斯变换用于分析系统的稳定性、瞬态响应和稳态误差。通过传递函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性（极点全部位于左半平面）和动态性能。 六、示例 以指数函数$f(t)=e^{-at}u(t)$（$u(t)$为单位阶跃函数）为例： $$ F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t} dt = \frac{1}{s+a} \quad (\text{Re}(s) > -a) $$ 综上所述，拉普拉斯变换是工程数学中强大的工具，它将微分方程转化为代数方程，简化了系统的分析和设计。同时，它建立了时域和复频域之间的联系，使得我们可以通过复频域的特性来理解系统的时域行为[^1][^2]。 根据要求，生成相关问题如下：</think>### 拉普拉斯变换的数学推导与工程物理意义 #### 一、数学推导过程 拉普拉斯变换的核心是从傅里叶变换推广而来，通过引入衰减因子解决傅里叶变换的收敛性问题： 1. **傅里叶变换的局限性** 傅里叶变换要求函数绝对可积： $$ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty $$ 对于指数增长函数（如$e^{at}, a>0$）不满足条件。 2. **引入衰减因子** 对函数$f(t)$乘以指数衰减项$e^{-\sigma t}$（$\sigma>0$），使其满足绝对可积： $$ g(t) = f(t)e^{-\sigma t} $$ 则$g(t)$的傅里叶变换为： $$ G(j\omega) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t} dt $$ 3. **定义拉普拉斯变换** 令$s = \sigma + j\omega$，得到双边拉普拉斯变换： $$ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-st} dt $$ 工程中常用单边形式（$t \geq 0$）： $$ \boxed{F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt} $$ 4. **关键性质推导** - **微分性质**： $$ \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) $$ 证明： $$ \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} f'(t)e^{-st}dt &= \left[ f(t)e^{-st} \right]_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt \\ &= 0 - f(0) + sF(s) \end{aligned} $$ - **积分性质**： $$ \mathcal{L}\left\{ \int_{0}^{t} f(\tau)d\tau \right\} = \frac{1}{s}F(s) $$ #### 二、物理与工程意义 1. **时域到复频域的转换** - $s = \sigma + j\omega$ 中： - 实部 $\sigma$ 表示衰减/增长速率 - 虚部 $\omega$ 表示角频率 - 例如：电路中的衰减振荡$e^{-at}\sin(\omega t)$对应极点$s = -a \pm j\omega$ 2. **微分方程的代数化** 将微分方程转化为代数方程： $$ \frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = x(t) \quad \xrightarrow{\mathcal{L}} \quad (s^2 + 3s + 2)Y(s) = X(s) $$ 解方程后通过逆变换$\mathcal{L}^{-1}$得到时域解[^1]。 3. **系统动态特性分析** - **传递函数**：$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$ - **极点位置**决定系统稳定性： ![](https://www.researchgate.net/profile/Mohammad_Abu_Sham/publication/315832961/figure/fig1/AS:480542999515136@1490880007710/Pole-zero-plot-of-a-second-order-system.png) *极点分布图（左半平面稳定）* 4. **工程应用实例** | 领域 | 应用场景 | 拉普拉斯变换作用 | |------------|------------------------------|------------------------------| | 电路分析 | RLC电路响应 | 将微分方程转为代数方程求解 | | 控制系统 | 稳定性判据（奈奎斯特准则） | 分析极点分布判断系统稳定性 | | 机械振动 | 弹簧-质量-阻尼系统 | 求解系统固有频率和阻尼比 | | 信号处理 | 滤波器设计 | 由s域指标设计模拟滤波器 | #### 三、与傅里叶/Z变换的关系 1. **与傅里叶变换** - 当$\sigma=0$时，拉普拉斯变换退化为傅里叶变换 $$ \left. F(s) \right|_{\sigma=0} = \mathcal{F}\{f(t)\} $$ - 拉普拉斯变换扩展了非稳态信号的分析能力 2. **与Z变换** - 离散系统的拉普拉斯变换衍生出Z变换： $$ z = e^{sT} \quad (T为采样周期) $$ - s平面到z平面的映射： ![](https://www.researchgate.net/profile/Reza_Abdolee/publication/320244951/figure/fig3/AS:631644909998082@1527603043130/Mapping-between-the-s-plane-and-the-z-plane.png) *s平面与z平面的映射关系[^2]* > **物理意义总结**：拉普拉斯变换将时域动态过程转换为复频域的静态分析，通过极点/零点分布直观揭示系统的稳定性、响应速度和振荡特性，是动态系统建模的核心工具。 --- ### 相关问题 1. 如何通过拉普拉斯变换求解RLC电路的阶跃响应？ 2. 控制系统中的奈奎斯特稳定性判据与拉普拉斯变换有何关联？ 3. 在信号处理中，如何利用拉普拉斯变换设计巴特沃斯滤波器？ 4. 拉普拉斯变换的收敛域（ROC）对系统分析有何重要意义？
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