一维差分的实现_一维差分代码实现-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wyuchen123/article/details/138585233

这是C++算法基础-基础算法专栏的第十三篇文章，专栏详情请见此处。

引入

上次我们学习了前缀和的实现，它可以快速解决求区间和问题。这次我们要学习差分，它是前缀和的逆运算，可以快速解决对序列的一个区间同时加或减一个数这样的问题。

对序列的一个区间加或减一个数，它的朴素做法时间复杂度为 $O(n)$ ，而用差分做法就可以将时间复杂度优化为 $O(1)$ 。

下面我们就来讲一维差分的实现。

定义

差分是一种和前缀和相对的策略，可以当做是求和的逆运算。

过程

表示

对于原数组 $a$ ，我们尝试构造一个数组 $b$ ，使得数组 $a$ 为数组 $b$ 的前缀和数组，即 $a\left [ i \right ]=b\left [ 1 \right ]+b\left [ 2 \right ]+\cdots +b\left [ i \right ]$ ，也就是说， $a_{x}=\sum_{i=1}^{x}b_{i}$ ，这时，我们就把数组 $b$ 称为数组 $a$ 的差分数组。

赋值

那如何构造这个数组 $b$ 呢？

我们令 $b\left [ 1 \right ]=a\left [ 1 \right ]$ 且 $b\left [ i \right ]=a\left [ i \right ]-a\left [ i-1 \right ]$ 。可以看出， $b$ 数组每一位的值是 $a$ 数组中两个相邻元素的差值。于是，我们在输入数组 $a$ 时同时进行对 $b$ 的赋值。

处理区间值

当我们想将 $a$ 数组区间 $\left [ l,r \right ]$ 中的数值都加 $c$ ，应该怎么去做呢？这里我们用图表加以理解， $0$ 表示当前位未计算， $1$ 表示当前位已计算。

首先，图一展示了起始状态，然后，我们将 $b\left [ l \right ]$ 计入总和（图二），也就是将 $b\left [ l \right ]\sim b\left [ n \right ]$ 内的数值都加 $c$ ，但我们并不需要 $b\left [ r \right ]$ 之后的数计入总和，所以最后将 $b\left [ r+1 \right ]$ 减去（图三）。

得出结论：将 $a$ 数组区间 $\left [ l,r \right ]$ 中的数值都加 $c$ ： $b\left [ l \right ]+=c$ ， $b\left [ r+1 \right ]-=c$ 。

代码

下面给出一维差分代码：

表示：a[i]=b[1]+b[2]+...+b[i]
赋值：b[i]=a[i]-a[i-1]
处理：b[l]+=c,b[r+1]-=c

上一篇-二维前缀和的实现 C++算法基础专栏文章下一篇-二维差分的实现

每周六更新一篇文章，内容一般是自己总结的经验或是在其他网站上整理的优质内容

点个赞，关注一下呗~